Question

14．如图，小明的爸爸在相距4m的两树等高位置处拴了一根绳子，做成一个简易的秋千，绳子自然下垂呈抛物线，已知身高1.5m的小明站在距离树1m的地方，头部刚好触到绳子．
（1）求抛物线的函数表达式和自变量的取值范围．
（2）求绳子最低点离地面的距离．

Answer 1

分析 （1）先找出抛物线上三点的坐标，然后依据待定系数法求解即可；
（2）当x=2时，y有最小值，从而可求得绳子最低点离地面的距离．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c．
∵由题意可知：抛物线经过点（0，2.5），（1，1.5），（4，2.5），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=2.5}\\{a+b+c=1.5}\\{16a+4b+c=2.5}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{1}{3}$，b=-$\frac{4}{3}$，c=2.5．
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2.5（0≤x≤4）．
（2）将x=2代入得：y=$\frac{4}{3}$-$\frac{8}{3}$+2.5=$\frac{7}{6}$．
答：绳子最低点离地面的距离$\frac{7}{6}$米．

点评 本题主要考查的是二次函数的实际应用，找出函数图象经过的三点的坐标是解题的关键．