Question

6．已知：$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$+$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$+$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=1，求证：三个分式中有两个等于1，一个等于-1．

Answer 1

分析 先利用等式性质变形得到$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$-1+$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$-1+$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$+1=0，再利用完全平方公式和平方差公式得到$\frac{（b+c-a）（b+c+a）}{2bc}$+$\frac{（c-a-b）（c-a+b）}{2ac}$+$\frac{（a-b+c）（a-b-c）}{2ab}$=0，接着提公因式后通分，然后通分得到$\frac{（a-b+c）（b+c-a）（a+b-c）}{2abc}$=0，所以a-b+c=0或b+c-a=0或a+b-c=0，然后讨论三种情况下三个分式的值即可得到结论．

解答 证明：$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$-1+$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$-1+$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$+1=0，
$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}-2bc}{2bc}$+$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}-{b}^{2}-2ac}{2ac}$+$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}+2ab}{2ab}$=0，
$\frac{（b+c）^{2}-{a}^{2}}{2bc}$+$\frac{（c-a）^{2}-{b}^{2}}{2ac}$+$\frac{（a-b）^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=0，
$\frac{（b+c-a）（b+c+a）}{2bc}$+$\frac{（c-a-b）（c-a+b）}{2ac}$+$\frac{（a-b+c）（a-b-c）}{2ab}$=0，
（b+c-a）（$\frac{a+b+c}{2bc}$+$\frac{c-a-b}{2ac}$）+$\frac{（a-b+c）（a-b-c）}{2ab}$=0，
（b+c-a）•$\frac{{a}^{2}+ab+ac+bc-ab-{b}^{2}}{2abc}$+$\frac{（a-b+c）（a-b-c）}{2ab}$=0，
（b+c-a）•$\frac{（a+b）（a-b）+c（a+b）}{2abc}$+$\frac{（a-b+c）（a-b-c）}{2ab}$=0，
$\frac{（b+c-a）（a+b）（a-b+c）}{2abc}$+$\frac{c（a-b+c）（a-b-c）}{2abc}$=0，
$\frac{（a-b+c）（b+c-a）（a+b-c）}{2abc}$=0，
a-b+c=0或b+c-a=0或a+b-c=0，
当a-b+c=0，即b=a+c时，$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{（a+c）^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2（a+c）c}$=1，$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}-（a+c）^{2}}{2ac}$=-1，$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+（a+c）^{2}-{c}^{2}}{2a（a+c）}$=1；
当b+c-a=0，即a=b+c时，同理可得$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=-1，$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=1，$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=1；
当a+b-c=0，即c=a+b时，$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=1，$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=1，$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=-1；
综上所述，三个分式中有两个等于1，一个等于-1．

点评 本题考查了分式的等式证明：熟练掌握分式的基本性质，能利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解．解决问题的突破口是三个分式分别加上1或减去1构造完全平方公式．