Question

如图，平面直角坐标系中，已知正方形OABC，其中A，C分别在x轴、y轴上，B（2，2）将它绕O点旋转到正方形OA′B′C′的位置，已知两正方形的重叠部分的面积为

4

3

3

，则点C′的坐标为

 

．

Answer 1

分析：作辅助线，连接点O和BC与A′B′的交点，根据两正方形重叠部分的面积可将正方形旋转的角度求出，从而可将C′的坐标求出．

解答：解：连接OD，可知△ODA′≌△ODC，
∵两正方形折叠部分的面积为

4 3

3

，OA′=2，
∴2×

1

2

OA′×A′D=

4 3

3

，
解得：A′D=

2 3

3

，
∴tan∠A′OD=

A′D

OA′

=

2 3 3

2

=

3

3

，
∴∠A′OD=30°，
∴正方形ABCD绕O点旋转了30°，
∵∠COC′=30°，
∴OC′与x轴所成的角度为60°，
∴C′点的纵坐标值为：OC′×sin60°=

3

，横坐标值为：OC′×cos60°=1，
∴C′点的坐标为（-1，

3

）．

点评：本题将一个图形的旋转放在坐标系中来考查，是一道考查数与形结合的好试题，也为高中后续学习做了良好的铺垫．从考试情况看，还有非常多考生没完全理解旋转的三大要素即中心、方向、角度，故失分的较多．本题综合考查学生旋转和坐标知识．