Question

（2013•门头沟区一模）操作与探究：
在平面直角坐标系xOy中，点P从原点O出发，且点P只能每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度．
（1）实验操作：在平面直角坐标系xOy中，点P从原点O出发，平移1次后可能到达的点的坐标是（0，2），（1，0）；点P从原点O出发，平移2次后可能到达的点的坐标是（0，4），（1，2），（2，0）；点P从原点O出发，平移3次后可能到达的点的坐标是

（0，6），（1，4），（2，2），（3，0）

；
（2）观察发现：
任一次平移，点P可能到达的点在我们学过的一种函数的图象上，如：平移1次后在函数y=-2x+2的图象上；平移2次后在函数y=-2x+4的图象上，…．若点P平移5次后可能到达的点恰好在直线y=3x上，则点P的坐标是

（2，6）

；
（3）探究运用：
点P从原点O出发经过n次平移后，到达直线y=x上的点Q，且平移的路径长不小于30，不超过32，求点Q的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据平移的规律是：在平面直角坐标系xOy中，点P从原点O出发，且点P只能每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度．所以平移可以连续向上平移，也可以连续向右平移，也可以先向上平移后向右平移（或先向右平移后向上平移）；
（2）根据正比函数图象上点的坐标特征来填空；
（3）设点Q的坐标为（x，y），求出Q点的坐标，得出n的取值范围，再根据点Q的坐标为正整数即可进行解答．

解答：解：（1）∵在平面直角坐标系xOy中，点P从原点O出发，且点P只能每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度，
∴当点P平移3次后的坐标是：
①当点P连续向上平移3次时，点P的坐标是（0，6）；
②当点P先向右平移1次，再向上平移2次时，点P的坐标是（1，4）；
③当点P先向右平移2次，再向上平移1次时，点P的坐标是（2，2）；
③当点P连续相右平移3次时，点P的坐标是（3，0）．

（2）∵平移1次后在函数y=-2x+2的图象上；
平移2次后在函数y=-2x+4的图象上，
∴点P平移n次后可能到达的点恰好在直线y=-2x+2n上，
又∵点P平移5次后可能到达的点恰好在直线y=3x上．
∴-2x+2×5=3x，
解得x=2，
则y=2×3=6，
∴P（2，6）；

（3）设点Q的坐标为（x，y）．
由题意，得 

y=-2x+2n y=x

，
 解得 

x= 2n 3 y= 2n 3

，
∴点Q的坐标为(

2n

3

，

2n

3

)．
∵平移的路径长为（x+y），
∴30≤

4n

3

≤32．
∴22.5≤n≤24．
∵点Q的坐标为正整数，
∴点Q的坐标为（16，16）．
故答案是：（0，6），（1，4），（2，2），（3，0）；（2，6）．

点评：本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．