Question

20．已知关于x的-元二次方程x²+（m+3）x+m+1=0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x₁、x₂是原方程的两个根．且|x₁-x₂|=$\sqrt{13}$．求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据关于x的一元二次方程x²+（m+3）x+m+1=0的根的判别式△=b²-4ac的符号来判定该方程的根的情况；
（2）根据根与系数的关系求得x₁+x₂=-（m+3），x₁•x₂=m+1；然后由已知条件“|x₁-x₂|=$\sqrt{13}$”可以求得（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=13，从而列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值；最后将m值代入原方程并解方程．

解答 （1）证明：∵△=（m+3）²-4（m+1）
=（m+1）²+4，
∵无论m取何值，（m+1）²+4恒大于0，
∴原方程总有两个不相等的实数根．

（2）解：∵x₁，x₂是原方程的两根，
∴x₁+x₂=-（m+3），x₁•x₂=m+1，
∵|x₁-x₂|=$\sqrt{13}$，
∴（x₁-x₂）²=（$\sqrt{13}$）²，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=13，
∴[-（m+3）]²-4（m+1）=13∴m²+2m-8=0，
解得：m₁=-4，m₂=2．

点评 本题考查了根与系数的关系、根的判别式．一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．