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【题目】在△ABC中,∠ACB30°,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A1BC1

1)如图1,当点C1在线段CA的延长线时,求∠CC1A1的度数;

2)已知AB6BC8

如图2,连接AA1CC1,若△CBC1的面积为16,求△ABA1的面积;

如图3,点E为线段AB中点,点P是线段AC上的动点,在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中,点P的对应是点P1,直接写出线段EP1长度的最大值.

【答案】1)∠CC1A160°;(2)△ABA1的面积=9;(3)线段EP1长度的最大值为11.

【解析】

1)由旋转的性质可得:∠A1C1B=ACB=30°BC=BC1,又由等腰三角形的性质,即可求得∠CC1A1的度数;
2)①由△ABC≌△A1BC1,易证得△ABA1∽△CBC1,然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方,即可求得△ABA1的面积;
②当PAC上运动至点C,△ABC绕点B旋转,使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时,EP1最大,即可求得线段EP1长度的最大值

1)依题意得:A1C1B≌△ACB

BC1BCA1C1BC30°

∴∠BC1CC30°

∴∠CC1A160°

2)如图2所示:

由(1)知:A1C1B≌△ACB

A1BABBC1BCA1BC1ABC

∴∠1∠2

∴△A1BA∽△C1BC

=(2

∵△CBC1的面积为16

∴△ABA1的面积=9.

3)线段EP1长度的最大值为11,理由如下:

如图3所示:当PAC上运动至点CABC绕点B旋转,使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时,EP1最大,

最大值为:EP1BC+BE8+311

即线段EP1长度的最大值为11

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