【题目】如图,折叠矩形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的点F处.
(1)如图1,若折痕,且,求矩形ABCD的周长;
(2)如图2,在AD边上截取DG=CF,连接GE,BD,相交于点H,求证:BD⊥GE.
【答案】(1)36;(2)答案见解析.
【解析】
(1)设EC=3k,则FC=4k,EF=5k,然后判断出∠BAF=∠EFC,利用三角函数的知识表示出BF、AF,结合AE的长.在Rt△AFE中利用勾股定理可求出矩形ABCD的边长,继而可得出周长.
(2)根据题意可得GD=FC,DE=EF,然后表示出cos∠EFC,及cos∠BAF,根据∠BAF=∠EFC,可得出一对相等的比例关系,继而可判断出△DBA∽△EGD,得出∠DBA=∠EGD,然后利用等量代换可确定结论.
(1)设EC=3k,由tan∠EFC=,则FC=4k,EF=5k.
∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC=8k.
∵∠AFE=∠D=90°,∴∠AFB+∠EFC=90°.
∵∠B=90°,∴∠BAF+∠AFB=90°,∴∠BAF=∠EFC,∴tan∠BAF=,∴BF=6k,AF=10k.在Rt△AFE中,AF2+EF2=AE2,AE=5,∴100k2+25k2=(5)2,解得:k=1,∴AB=DC=8,BC=AD=AF=10,所以矩形ABCD的周长为36.
(2)∵GD=FC,DE=EF,∴cos∠EFC==.
∵cos∠BAF==,∠BAF=∠EFC,∴=,∴△DBA∽△EGD,∴∠DBA=∠EGD.
∵∠DBA+∠ADB=90°,∴∠DGH+∠GDH=90°,∴∠GHD=90°,∴BD⊥GE.
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【题目】如图,方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形,已知△ABC的三个顶点在格点上.
(1)画出△A1B1C1,使它与△ABC关于直线a对称;
(2)求出△A1B1C1的面积;
(3)在直线a上画出点P,使PA+PC最小,最小值为 .
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【题目】如图,半径为1个单位的圆片上有一点A与数轴上的原点重合,AB是圆片的直径.
(1)把圆片沿数轴向左滚动1周,点A到达数轴上点C的位置,点C表示的数是______数(填“无理”或“有理”),这个数是______;
(2)把圆片沿数轴滚动2周,点A到达数轴上点D的位置,点D表示的数是______;
(3)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数,圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数,依次运动情况记录如下:+2,-1,-5,+4,+3,-2当圆片结束运动时,A点运动的路程共有多少?此时点A所表示的数是多少?
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【题目】某商城销售A,B两种自行车.A型自行车售价为2 100元/辆,B型自行车售价为1 750元/辆,每辆A型自行车的进价比每辆B型自行车的进价多400元,商城用80 000元购进A型自行车的数量与用64 000元购进B型自行车的数量相等.
(1)求每辆A,B两种自行车的进价分别是多少?
(2)现在商城准备一次购进这两种自行车共100辆,设购进A型自行车m辆,这100辆自行车的销售总利润为y元,要求购进B型自行车数量不超过A型自行车数量的2倍,总利润不低于13 000元,求获利最大的方案以及最大利润.
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,直线:与轴相交于B,与轴相交于点A.直线:经过原点,并且与直线相交于C点.
(1)求ΔOBC的面积;
(2)如图2,在轴上有一动点E,连接CE.问CE+BE是否有最小值,如果有,求出相应的点E的坐标及CE+BE的最小值;如果没有,请说明理由;
(3)如图3,在(2)的条件下,以CE为一边作等边ΔCDE,D点正好落在轴上.将ΔDCE绕点D顺时针旋转,旋转角度为(0°≤≤360),记旋转后的三角形为ΔDCE′,点C,E的对称点分别为C′,E′.在旋转过程中,设C′E′所在的直线与直线相交于点M,与轴正半轴相交于点N.当ΔOMN为等腰三角形时,求线段ON的长?
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【题目】如图1,抛物线y1=ax2﹣x+c与x轴交于点A和点B(1,0),与y轴交于点C(0,),抛物线y1的顶点为G,GM⊥x轴于点M.将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2.
(1)求抛物线y2的解析式;
(2)如图2,在直线l上是否存在点T,使△TAC是等腰三角形?若存在,请求出所有点T的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)点P为抛物线y1上一动点,过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q,点Q关于直线l的对称点为R,若以P,Q,R为顶点的三角形与△AMG全等,求直线PR的解析式.
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【题目】如图,在10×10正方形网格中,每个小正方形的边长均为1个单位.将△ABC向下平移4个单位,得到△A′B′C′,再把△A′B′C′绕点C'顺时针旋转90°,得到△A″B″C′,
(1)请你画出△A′B′C′和△A″B″C′(不要求写画法).
(2)求出线段A′C′在旋转过程中所扫过的面积.(结果保留)
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【题目】如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,D为AC边上的中点,过D点作DE⊥DF,交AB于点E,交BC于点F,若AE=8,FC=6.
(1)求EF的长.
(2)求四边形BEDF的面积.
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