Question

如图，⊙O的两条直径AB、CD互相垂直，GF与⊙O相切于点E，分别交DC、BA的延长线于点G、F，∠F=30°，OF=4．
（1）求∠D的度数；
（2）求⊙O的半径；
（3）求阴影部分面积．（结果保留三个有效数字）

Answer 1

分析：（1）根据圆周角定理可以得到∠D的度数等于∠COA的度数的一半；
（2）连接OE，利用切线的性质可以得到OE⊥GF，利用30°的角所对的直角边等于斜边的一半求半径即可；
（3）用三角形OGF的面积减去扇形OCA的面积，得阴影部分，面积．

解答：解：（1）∵⊙O的两条直径AB、CD互相垂直，
∴∠COA=90°，
∴∠D=45°；

（2）连接OE，∵GF与⊙O相切于点E，
∴OE⊥GF，
∵∠F=30°，OF=4，
∴OE=2，
故⊙O的半径为2；

（3）∵∠F=30°，OF=4．
∴GE=

2

3

3

，EF=2

3

∴GF=

8

3

3

，
∴阴影部分面积=S_△OGF-S_扇形OCA
=

1

2

×2×

8

3

3

-

90π×22

360

=

8

3

3

-π
≈1.48

点评：本题考查了圆周角定理、切线的性质及扇形的面积计算方法，题目难度不大，但包括内容很多．