Question

如图，△ABD为等边三角形，∠BCA=60°．求证：AC=BC+CD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：在AC上截取AE=BC，连接DE，根据圆内接四边形性质得出∠DAE=∠CBD，证出△DAE≌△DBC，推出∠ADE=∠CDB，求出∠CDE=∠ADB=60°，得出△CDE是等边三角形，推出DE=DC=CE即可．

解答：证明：在AC上截取AE=BC，连接DE，

∵△ABD是等边三角形，∠ACB=60°，
∴∠ADB=∠ACB=60°，AD=BD，
∴A、D、C、B四点共圆，
∴∠CBD=∠DAE，
在△DAE和△DBC中，

AD=BD ∠DAE=∠DBC AE=BC

，
∴△DAE≌△DBC（SAS），
∴∠ADE=∠CDB，
∴∠ADE+∠BDE=∠CDB+∠BDE，
∴∠CDE=∠ADB=60°，
∵DE=DC，
∴△CDE是等边三角形，
∴DE=DC=CE，
∴AC=AE+CE=BC+CD．

点评：本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是正确作出辅助线后推出△DAE≌△DBC．