Question

20．如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A₁B₁C₁的顶点A₁与点P重合，第二个△A₂B₂C₂的顶点A₂是B₁C₁与PQ的交点，…，最后一个△A_nB_nC_n的顶点B_n、C_n在圆上．求正三角形的边长a₁=$\sqrt{3}$，a₂=$\frac{{8\sqrt{3}}}{13}$，a_n=$\frac{{4\sqrt{3}n}}{{3{n^2}+1}}$．

Answer 1

分析 设PQ与B₁C₁交于点D，连接B₁O，得出OD=A₁D-OA₁，用含a₁的代数式表示OD，在△OB₁D中，根据勾股定理求出正三角形的边长a₁；
设PQ与B₂C₂交于点E，连接B₂O，得出OE=A₁E-OA₁，用含a₂的代数式表示OE，在△OB₂E中，根据勾股定理求出正三角形的边长a₂；
设PQ与B_nC_n交于点F，连接B_nO，得出OF=A₁F-OA₁，用含a_n的代数式表示OF，在△OB_nF中，根据勾股定理求出正三角形的边长a_n

解答 解：（1）设PQ与B₁C₁交于点D，连接B₁O．如图1，
∵△PB₁C₁是等边三角形，
∴A₁D=PB₁•sin∠PB₁C₁=a₁•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a₁，
∴OD=A₁D-OA₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a₁-1，
在△OB₁D中，OB₁²=B₁D²+OD²，
∴OD=A₁D-OA₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a₁-1，
即1²=（$\frac{1}{2}$a₁）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a₁-1）²，
解得a₁=$\sqrt{3}$；

（2）设PQ与B₂C₂交于点E，连接B₂O．如图2，
∵△A₂B₂C₂是等边三角形，
∴A₂E=A₂B₂•sin∠A₂B₂C₂=a₂•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a₂，
∵△PB₁C₁是与△A₂B₂C₂边长相等的正三角形，
∴PA₂=A₂E=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a₂，
OE=A₁E-OA₁=$\sqrt{3}$a₂-1，
在△OB₂E中，OB₂²=B₂E²+OE²，
即1²=（$\frac{1}{2}$a₂）²+（$\sqrt{3}$a₂-1）²，
解得a₂=$\frac{8\sqrt{3}}{13}$；

（3）设PQ与B_nC_n交于点F，连接B_nO，
得出OF=A₁F-OA₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$na_n-1，
同理，在△OB_nF中，OB_n²=B_nF²+OF²，
即1²=（$\frac{1}{2}$a_n）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$na_n-1）²，
解得a_n=$\frac{4\sqrt{3}n}{3{n}^{2}+1}$．
故答案为：$\sqrt{3}$，$\frac{{8\sqrt{3}}}{13}$，$\frac{{4\sqrt{3}n}}{{3{n^2}+1}}$．

点评 主要考查了等边三角形的性质，勾股定理等知识点．本题中a₁、a₂是特殊情况，注意在证明过程中抓住不变条件，从而为求a₃提供思路和方法．本题综合性强，难度大，有利于培养学生分析、解决问题的能力．