Question

【题目】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆O交BC于点D，过点C作CF∥AB，与⊙O的切线BE交于点E，连接DE．

（1）求证：BD＝CD；

（2）求证：△CAB∽△CDE；

（3）设△ABC的面积为S1，△CDE的面积为S2，直径AB的长为x，若∠ABC＝30°，S1、S2 满足S1+S2＝，试求x的值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）x＝8．．

【解析】

（1）因为AB＝AC，欲证明BD＝DC，只要证明AD⊥BC即可．

（2）可以根据两角对应相等的两个三角形相似进行证明．

（3）分别用x表示S1、S2，列出方程即可解决问题．

（1）证明：∵AB是直径，

∴∠ADB＝90°，

∴AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴BD＝CD．

（2）∵AB∥CE，

∴∠2＝∠1，

∵AB＝AC，

∴∠1＝∠3，

∵BE是⊙O切线，

∴∠ABE＝90°，

∵AB∥CE，

∴∠BEC+∠ABE＝90°，

∴∠BEC＝90°，

∵BD＝DC，

∴DE＝DB＝DC，

∴∠2＝∠4，

∴∠3＝∠2，∠1＝∠4，

∴△CAB∽△CDE．

（3）∵S1＝．

∵△CAB∽△CDE，

∴,

∴S2＝，

由题意：,

∴x＝±8，

∵x＞0，

∴x＝8．