Question

如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0，m)是线段OC上一个动点(点C除外)，直线PM交AB的延长线于点D．

1.求点D的坐标(用含m的代数式表示)；

2.当△ADP是等腰三角形时，求m的值；

3.设过点P、M、B的抛物线与x轴的正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H(如图2)．当点P从原点O向点C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路径长(不写解答过程)．

 

Answer 1

 

1.点D的坐标为（2，4－m）

2.m的值为或或

3.点H所经过的路径长为

解析:解：⑴由题意得CM=BM，

∵∠PMC=∠DMB，

∴Rt△PMC≌Rt△DMB，

∴DB=PC，

∴DB=2－m，AD=4－m,

∴点D的坐标为（2，4－m）.

⑵分三种情况

① 

y

x

M

D

B

P

C

O

A

若AP=AD，则4＋m²=(4－m)²，解得

②  若PD=PA

F

过P作PF⊥AB于点F（如图），

则AF=FD=AD=（4－m）

又OP=AF，

∴  

 

③若PD=DA，

∵△PMC≌△DMB，

∴PM=PD=AD=（4－m）,

∵PC²＋CM²=PM²，

∴

解得(舍去)。

综上所述，当△APD是等腰三角形时，m的值为或或

⑶点H所经过的路径长为