Question

如图，在平面直角坐标系中有一边长为l的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB₁C₁，再以对角线OB_l为边作第三个正方形OB_lB₂C₂，照此规律作下去，则点B₂₀₁₂的坐标为       

Answer 1

（－2¹⁰⁰⁶，－2¹⁰⁰⁶）。

分OB_i的长度和点B_i的位置分别寻找规律：
由正方形边长为1，根据勾股定理可得
OB=，OB₁=2=，OB₂=2=，
OB₃=·=，……OB₂₀₁₂=。
如图，点B_i的位置为i=8一个周期。

∵2012÷8=251……4，
∴点B₂₀₁₂的坐标与点B₄的坐标位置相同，都在第三象限。
由正方形的性质可知△OB₂₀₁₁B2₀₁₂是等腰直角三角形。
∴B₂₀₁₁B2₀₁₂="O" B₂₀₁₁=。
∴点B₂₀₁₂的坐标为（－2¹⁰⁰⁶，－2¹⁰⁰⁶）。