Question

等腰三角形ABC中，AD⊥BC且AD等于BC的一半，则△ABC底角的度数为（　　）

• A、45度
• B、75度
• C、45°或15°或75°
• D、60度

Answer 1

考点：等腰直角三角形

专题：

分析：根据题意先画出图形，再根据实际情况进行讨论：第一点A是顶点时，根据等腰三角形三线合一的性质可得BD=CD，从而得到AD=BD=CD，再利用等边对等角的性质可得∠B=∠BAD，然后利用直角三角形两锐角互余求解即可；第二点A是底角顶点时，再分AD在△ABC外部时，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠ACD=30°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可得到底角是15°，AD在△ABC内部时，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠C=30°，然后再根据等腰三角形两底角相等求解即可．

解答：解：如图①，点A是顶点时，∵AB=AC，AD⊥BC
∴BD=CD，
∵AD=

1

2

BC，
∴AD=BD=CD，
在Rt△ABD中，∠B=∠BAD=

1

2

（180°-90°）=45°；
②如图2，点A是底角顶点，且AD在△ABC外部时，
∵AD=

1

2

BC，AC=BC，
∴AD=

1

2

AC，
∴∠ACD=30°，
∴∠BAC=∠ABC=

1

2

×30°=15°；
③如图3，点A是底角顶点，且AD在△ABC内部时，
∵AD=

1

2

BC，AC=BC，
∴AD=

1

2

AC，
∴∠C=30°，
∴∠BAC=∠ABC=

1

2

（180°-30°）=75°；
故选C．

点评：本题考查了等腰直角三角形，用到的知识点是30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰三角形的两底角相等的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，注意要分情况讨论求解．