Question

11．已知x=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，求代数式$\frac{{x}^{3}}{{x}^{3}+x+1}$的值．

Answer 1

分析 首先根据x=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，求出x³的值是多少；然后把x、x³的值代入$\frac{{x}^{3}}{{x}^{3}+x+1}$，求出算式的值是多少即可．

解答 解：∵x=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
∴x³=${（\frac{\sqrt{5}+1}{2}）}^{3}$=2$+\sqrt{5}$，
∴$\frac{{x}^{3}}{{x}^{3}+x+1}$
=$\frac{2+\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}+\frac{\sqrt{5}+1}{2}+1}$
=$\frac{4+2\sqrt{5}}{7+3\sqrt{5}}$
=$\frac{（4+2\sqrt{5}）（7-3\sqrt{5}）}{（7+3\sqrt{5}）（7-3\sqrt{5}）}$
=$\frac{-2+2\sqrt{5}}{4}$
=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
即$\frac{{x}^{3}}{{x}^{3}+x+1}$的值是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 此题主要考查了二次根式的化简求值，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．