Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？
（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：A（1，4）．

由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4

∵抛物线过点C（3，0），

∴0=a（3﹣1）2+4，

解得，a=﹣1，

∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3

（2）解：∵A（1，4），C（3，0），

∴可求直线AC的解析式为y=﹣2x+6．

∵点P（1，4﹣t）．

∴将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，解得点E的横坐标为x=1+ ．

∴点G的横坐标为1+ ，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4﹣ ．

∴GE=（4﹣ ）﹣（4﹣t）=t﹣ ．

又∵点A到GE的距离为 ，C到GE的距离为2﹣ ，

即S△ACG=S△AEG+S△CEG= EG + EG（2﹣ ）

= 2（t﹣ ）=﹣ （t﹣2）2+1．

当t=2时，S△ACG的最大值为1

（3）解：第一种情况如图1所示，点H在AC的上方，由四边形CQEH是菱形知CQ=CE=t，

根据△APE∽△ABC，知

= ，即 = ，解得t=20﹣8 ；

第二种情况如图2所示，点H在AC的下方，由四边形CQHE是菱形知CQ=QE=EH=HC=t，PE= t，EM=2﹣ t，MQ=4﹣2t．

则在直角三角形EMQ中，根据勾股定理知EM2+MQ2=EQ2，即（2﹣ t）2+（4﹣2t）2=t2，

解得，t1= ，t2=4（不合题意，舍去）．

综上所述，t=20﹣8 或t= ．

【解析】（1）顶点A坐标可根据A、B横坐标相同，与D的纵坐标关相同求出，利用待定系数法求出解析式；（2）通过竖直线段把三角形分割为两个三角形，用t的代数式表示S△ACG，构建函数，利用配方法求出最值；（3）以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形可分类讨论为：四边形CQEH是菱形；四边形CQHE是菱形，根据菱形的性质、相似三角形性质及勾股定理可求出.
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的判定与性质的相关知识，掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．