【题目】如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于F.
(1)证明:PC=PE;
(2)求∠CPE的度数;
(3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当∠ABC=120°时,连接CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)∠CPF=90°;(3)AP=CE,见解析
【解析】(1)证明:在正方形ABCD中,AB=BC,
∠ABP=∠CBP=45°,
在△ABP和△CBP中,
,
∴△ABP≌△CBP(SAS),
∴PA=PC,
∵PA=PE,
∴PC=PE;
(2)由(1)知,△ABP≌△CBP,
∴∠BAP=∠BCP,
∴∠DAP=∠DCP,
∵PA=PE,
∴∠DAP=∠E,
∴∠DCP=∠E,
∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等),
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E,
即∠CPF=∠EDF=90°;
(3)在菱形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP=60°,
在△ABP和△CBP中,
,
∴△ABP≌△CBP(SAS),
∴PA=PC,∠BAP=∠BCP,
∵PA=PE,
∴PC=PE,
∴∠DAP=∠DCP,
∵PA=PC,
∴∠DAP=∠AEP,
∴∠DCP=∠AEP
∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等),
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠AEP,
即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°,
∴△EPC是等边三角形,
∴PC=CE,
∴AP=CE.
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【题目】下列说法正确的是( )
A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
B.对角线互相平分的四边形是正方形
C.对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形
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【题目】当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时,我们称此三角形为“梦想三角形”.如果一个“梦想三角形”有一个角为108°,那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为_____.
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【题目】如图,已知矩形ABCD,AB=,BC=3,在BC上取两点E,F(E在F左边),以EF为边作等边三角形PEF,使顶点P在AD上,PE,PF分别交AC于点G,H.
(1)求△PEF的边长;
(2)在不添加辅助线的情况下,当F与C不重合时,从图中找出一对相似三角形,并说明理由;
(3)求证:PH﹣BE=1.
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【题目】如图,在每个小正方形边长为1的方格纸中,△ABC的顶点都在方格纸格点上.将△ABC向左平移2格,再向上平移4格.(10分)
(1)请在图中画出平移后的△A′B′C′。
(2)再在图中画出△A′B′C′的高C′D′,并求出△ABC的面积.
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【题目】将下列多项式分解因式,结果中不含因式x﹣1的是( )
A. x2﹣1 B. x(x﹣2)+(2﹣x) C. x2﹣2x+1 D. x2+2x+1
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【题目】非洲猪瘟病毒,在低温暗室内存在血液中之病毒可生存六年,室温中可活数周,加热被病毒感染的血液55℃30分钟或60℃10分钟,病毒将被破坏,许多脂溶剂和消毒剂可以将其破坏.该病毒粒子的直径约为0.000000175米,用科学计数法表示数据0.00000175=_____;
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