【题目】定义:如果M个不同的正整数,对其中的任意两个数,这两个数的积能被这两个数的和整除,则称这组数为M个数的自然数组,如(3,6)为两个数的自然数组,因为(3×6)能被(3+6)整除;又如(15,30,60)为三个数的自然数组,因为(15×30)能被(15+30)整除,(15×60)能被(15+60)整除,(30×60)能被(30+60)整除…
(1)求证:2n和n(n﹣2)(n≥3,n为整数)组成的数组是两个数的自然数组;
(2)若(4a,5a,6a)是三个数的自然数组,求满足条件的三位正整数a,并判断(4a+5,5a+5,6a+5)是否为自然数组.
【答案】(1)详见解析;(2)不是,理由详见解析.
【解析】
(1)根据祖冲之数组的定义,即可解决问题;(2)首先根据定义判断出a是5,9,11的公倍数,由此即可解决问题.
(1)∵2nn(n-2)=2n2(n-2),而2n+n(n-2)=n2
且:2n2(n-2)能被n2整除,
∴2n和n(n-2)(n≥3,n为整数)组成的数组是两个数的自然数组.
(2)∵(4a,5a,6a)是三个数的自然数组,
∴,,都是整数,
∴a是5、9、11的公倍数,
∴5911=495,4952=990,
∴满足条件的三位正整数a为495或990.
同理:当a=990时不能整除,
故(4a+5,5a+5,6a+5)不是自然数组.
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【题目】一项工程,甲,乙两公司合做,12天可以完成,共需付施工费102000元;如果甲,乙两公司单独完成此项工程,乙公司所用时间是甲公司的1.5倍,乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元.
(1)甲,乙两公司单独完成此项工程,各需多少天?
(2)若让一个公司单独完成这项工程,哪个公司的施工费较少?
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【题目】一条船上午点在处望见西南方向有一座灯塔(如图),此时测得船和灯塔相距海里,船以每小时海里的速度向南偏西的方向航行到处,这时望见灯塔在船的正北方向.(参考数据:,).
求几点钟船到达处;
求船到达处时与灯塔之间的距离.
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【题目】若a使关于x的不等式组 有两个整数解,且使关于x的方程有负数解,则符合题意的整数a的个数有 ( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=(x>0,m≠0)的图象交于点C,与x轴、y轴分别交于点D、B,已知OB=3,点C的横坐标为4,cos∠0BD=
(1)求一次函数及反比例函数的表达式;
(2)将一次函数图象向下平移,使其经过原点O,与反比例函数图象在第四象限内的交点为A,连接AC,求四边形OACB的面积.
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【题目】如图,∠AOB=90°,OA=12cm,OB=8cm,一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O,机器人立即从点B出发,沿BC方向匀速前进拦截小球,恰好在点C处截住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,并且它们的运动时间也相等.
(1)请用直尺和圆规作出C处的位置,不必叙述作图过程,保留作图痕迹;
(2)求线段OC的长.
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【题目】在如图所示的直角坐标系中,解答下列问题.
(1)分别写出A、B两点的坐标:A ,B .
(2)△ABC的面积= ;点B到AC的距离= .
(3)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1.
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【题目】如图,已知和是两个边长都为的等边三角形,且点,,,在同一直线上,连接,.
求证:四边形是平行四边形;
若沿着的方向匀速运动,不动,当运动到点与点重合时,四边形是什么特殊的四边形?说明理由.
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【题目】如图,已知AB∥CD,F为CD上一点,∠EFD=60°,∠AEC=2∠CEF,若6°<∠BAE<15°,∠C的度数为整数,则∠C的度数为_____.
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