Question

【题目】观察推理：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，点A、B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D、E．

（1）求证：△AEC≌△CDB；

（2）类比探究：如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，连接B′C，求△AB′C的面积；

（3）拓展提升：如图3，∠E=60°，EC=EB=4cm，点O在BC上，且OC=3cm，动点P从点E沿射线EC以2cm/s速度运动，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．要使点F恰好落在射线EB上，求点P运动的时间．

Answer 1

【答案】（1）证明见详解；（2）18；（3）2.5

【解析】

(1）根据题干可知本题考查全等三角形证明，先利用等角的余角相等得到∠EAC=∠BCD，则可根据“AAS”证明△AEC≌△CD。

(2)根据图2和条件，作B'D⊥AC于D，先证明△B'AD≌△A B'D得到B'D=AC=6，

则可根据三角形面积公式计算；

(3)根据图3，利用旋转的性质得∠FOP=120°，OP=OF，

再证明△BOF≌△CPO得到PC=OB=1，

则EP=CE＋CP=5，然后计算点P运动的时间t．

(1)∵∠ACB=90°，

∴∠ACE+∠DCB=90°，

∵BD⊥l，AE⊥l，

∴∠AEC=∠BDC=90°，

∴∠EAC＋∠ACE=90°，

∴∠EAC=∠DCB，

又∵AC=BC，

∴△AEC≌△CDB(AAS)；

(2)如图2，作B'D⊥AC于D，

∵斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB'，

∴AB’=AB，∠B’AB=90°，

即∠B′AC＋∠BAC=90°，

而∠B＋∠CAB=90°，

∴∠B=∠B'AC，

∴△B’AD≌△A B′D(AAS)，

∴B′D=AC=6，

∴△A B′C的面积=6×6÷2=18；

(3)如图3，由旋转知，OP=OF，

∵△BCE是等边三角形，

∴∠CBE=∠BCE=60°

∴∠OCP=∠FBO=120°，

∠CPO＋∠COP=60°，

∵∠POF=120°，

∴∠COP＋∠BOF=60°，

∴∠CPO=∠BOF，在△BOF和△PCO中

∠OBF=∠PCO=120°,∠BOF=∠CPO，OF=OP

∴△BOF≌△PCO，

∴CP=OB，

∵EC=BC=4cm，OC=3cm，

∴OB=BC-OC=1，

∴CP=1，

∴EP=CE＋CP=5，

∴点P运动的时间t=5÷2=2.5秒。