Question

11．已知，如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，且60°＜α＜120°，P是△ABC内部一点，且PC=AC，∠PCA=120°-α．
（1）用含α的代数式表示∠APC，得∠APC=30°+$\frac{1}{2}α$；
（2）求证：∠BAP=∠PCB；
（3）求∠PBC的度数；
（4）若PA=PB，试猜想△ABC的形状．

Answer 1

分析 （1）在三角形APC中，因为PC=AC，推出∠CPA=∠CAP，因为∠CAP+∠CPA+∠ACP=180°，推出∠CPA=∠CAP=（180°-∠ACP）÷2=（60°+α）÷2=30°+$\frac{1}{2}α$，
（2）由①所推出的结论，可知∠BAP=∠BAC-∠CAP=α-（30°+$\frac{1}{2}α$）=$\frac{1}{2}α$-30°，在三角形ABC中，∠BCA=∠ABC=（180-a）÷2=90°-$\frac{1}{2}α$，∠PCB=∠BCA-∠ACP=90-$\frac{1}{2}α$-（120°-α）=$\frac{1}{2}α$-30°，所以∠BAP=∠PC，
（3）方法一：分别延长CP、AP交BC于F 点，交AB于E点，由∠BAP=∠PCB，可得A，E，F，C四点共圆，得∠EFB=α，所以可得BF=EF，EF=PF，即BF=PF，又由∠AFC=∠ABC+∠BAF=90°-$\frac{1}{2}α$+$\frac{1}{2}α$-30°=60°，即得∠PBC=∠BPF=30°．
方法二：先利用角平分线构造出△PCD≌△ACD，进而判断出△PAD是等边三角形，得出AP=AD，即可得出△BAP≌△CAD，判断出四边形BCDP是等腰梯形，求出∠BCD即可；
（4）先得出∠ABP=$\frac{1}{2}$α-30°，即可得出∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$α，利用三角形的内角和即可得出α即可．

解答 （1）解：∵AB=AC，∠BAC=α，PC=AC，
∴∠CPA=∠CAP，∠BCA=∠ABC，
∵∠CAP+∠CPA+∠ACP=180°，
∴∠CPA=∠CAP=（180°-∠ACP）÷2=（60°+α）÷2=30°+$\frac{1}{2}α$，
故答案为：30°+$\frac{1}{2}α$，

（2）证明：∵∠BAP=∠BAC-∠CAP，∠BAC=α，∠CAP=30°+$\frac{1}{2}α$，
∴∠BAP=∠BAC-∠CAP=α-（30°+$\frac{1}{2}α$）=$\frac{1}{2}α$-30°，
∴∠BCA=∠ABC=（180-a）÷2=90°-$\frac{1}{2}α$，
∴∠PCB=∠BCA-∠ACP=90-$\frac{1}{2}α$-（120°-α）=$\frac{1}{2}α$-30°，
∴∠BAP=∠PCB，
（3）方法一：解：如图，分别延长CP、AP交AB于E点，交BC于F点，
∵∠BAP=∠PCB，
∴∠PFB=∠PEB，
∴A，E，F，C四点共圆，
∴∠EFB=∠BAC=α，∠EFA=∠ECA，∠FEC=∠CAF，
∴BF=EF，EF=PF，
∴BF=PF
∴∠AFC=∠ABC+∠BAF=90°-$\frac{1}{2}α$+$\frac{1}{2}α$-30°=60°，
∴∠PBC=∠BPF=30°．
方法二：如图1，
过点P作PD∥BC，交∠ACP的平分线于D，连接AD，
∴∠PCD=∠ACD，
在△PCD和△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{CP=CA}\\{∠PCD=∠ACD}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△PCD≌△ACD，
∴PD=AD，∠CPD=∠CAD，
∵AB=AC，∠BAC=α，
∴∠ACB=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}$α，
∵∠PCA=120°-α．
∴∠BCP=∠ACB-∠ACP=90°-$\frac{1}{2}$α-（120°-α）=$\frac{1}{2}$α-30°，
∵PD∥BC，
∴∠CPD=∠BCP=$\frac{1}{2}$α-30°，
∵∠BCP=∠BAP，
∴∠CPD=∠BAP=∠CAD=$\frac{1}{2}$α-30°，
∴∠PAD=∠BAC-∠BAP-∠CAD=α-（$\frac{1}{2}$α-30°）-（$\frac{1}{2}$α-30°）=60°
∵PD=AD，
∴△PAD是等边三角形
∴AP=AD，
在△BAP和△CAD中，$\left\{\begin{array}{l}{AP=AD}\\{∠BAP=∠CAD}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△BAP≌△CAD，
∴BP=CD，
∴四边形BCDP是等腰梯形，
∴∠PBC=∠BCD，
∵∠PCD=∠ACD=$\frac{1}{2}$∠PCA=60°-$\frac{1}{2}$a
∵∠BCA=∠CBA=90°-$\frac{1}{2}$a
∴∠BCD=∠BCA-∠ACD=90°-$\frac{1}{2}$a-（60°-$\frac{1}{2}$a）=30°
∴∠PBC=∠BCD=30°，
（4）△ABC是等腰直角三角形
理由：由（3）知，∠BAP=$\frac{1}{2}$α-30°，∠PBC=30°，
∵PA=PB，
∴∠ABP=∠BAP=$\frac{1}{2}$α-30°，
∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=$\frac{1}{2}$α-30°+30°=$\frac{1}{2}α$，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=$\frac{1}{2}$α，
在△ABC中，根据三角形的内角和得．α+$\frac{1}{2}$α+$\frac{1}{2}$α=180°，
∴α=90°，
∴∠BAC=90°
∴△ABC是等腰直角三角形．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的意义，三角形的内角和，等腰直角三角形的判定，关键在于熟练运用相关的性质定理，熟练角之间的数量转换，正确作出辅助线．