Question

直线y=-x-3经过点C（1，m），并与坐标轴交于A、B两点，过B、C两点的抛物线y=x²+bx+c与x轴的负半轴交于D点，
（1）求点C的坐标及抛物线的解析式；
（2）抛物线y=x²+bx+c的对称轴为直线MN，直线MN与x轴相交于点F，直线MN上有一动点P，过P作直线PE⊥AB，垂足为E，直线PE与x轴相交于点H
①当P点在直线MN上移动时，是否存在这样的P点，使以A、P、H为顶点的三角形与△FBC相似？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；
②若⊙I始终过A、P、E三点，当P点在MN上运动时，圆心I在______上运动．（先作选择，再说明理由） 
A．一个圆  B．一个反比例函数图象 C．一条直线 D．一条抛物线

Answer 1

【答案】分析：（1）首先由直线AC的解析式求出点B、C两点的坐标，再由待定系数法确定抛物线的解析式．
（2）①点A、C的坐标易知，那么容易判断出∠ACF=45°，这也是方便解题的一个重要条件；从图中不难看出∠AHP、∠ACF是同角（或等角）的余角，那么必有∠AHP=∠FCB=45°，首先用未知数设出PF的长，进而由∠AHP的度数求出PH、AH的长，若△AHP、△FCB相似，通过得到的比例线段列式求出这个未知数的值，由此确定点P的坐标（注意要分点P在x轴上方和下方两种情况讨论）；
②在Rt△APE中，它的外心I始终是AP的中点，若取AF的中点为Q，那么IQ为△APH的中位线，换句话说无论点P如何运动，IQ始终与PH平行，即点I始终在一条平行于y轴的直线上，可根据这个思路来解答题目．
解答：解：（1）由直线y=-x-3知：A（-3，0）、B（0，-3）；
当x=1时，y=-x-3=-4，即 C（1，-4）．
将B（0，-3）、C（1，-4）代入y=x²+bx+c中，得：
，解得
∴抛物线的解析式：y=x²-2x-3．

（2）①由点A（-3，0）、C（1，-4）得：AF=CF=4，即△AFC是等腰直角三角形，∠FCB=45°；
1、当点P在x轴下方时，∠AHP=∠FCB=90°-∠HAC=45°；
在Rt△FPH中，设FH=FP=x，则PH=x，AH=AF+FH=4+x；
由B（0，-3）、C（1，-4）知：BC=，CF=4；
若△APH∽△HBC，那么=，则有：=
解得：x=，即 P（1，-）；
2、当点P在x轴上方时，如右图；
∠AHP=∠FCB=90°-∠EAH=90°-∠FAC=45°；
设FP=x，则 FH=FP=x，AH=FH-AF=x-4，PH=x；
同1可得：=，有：=
解得：x=8，即 P（1，8）；
综上，点P的坐标为（1，-）或（1，8）．
②Rt△APE的外接圆圆心为斜边AP的中点I，取AF的中点Q，那么IQ为△AFP的中位线，
∴IQ∥MN，即IQ∥y轴；
∵点Q（-1，0），∴无论点P如何运动，点I始终在直线x=-1上．
故选C．
点评：此题主要考查了函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质以及三角形的外接圆等相关知识点；（2）①较难，能够应用含有特殊度数的∠FCB是解答题目的关键．