Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=2，∠AOB=120⁰．

（1）求这条抛物线的表达式；
（2）连接OM，求∠AOM的大小；
（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．

Answer 1

解：（1）如图，过点A作AD⊥y轴于点D，

∵AO=OB=2，∴B（2，0）。
∵∠AOB=120⁰，∴∠AOD=30⁰，∴AD=1，OD=。
∴A（－1，）。
将A（－1，），B（2，0）代入，得：
，解得。
∴这条抛物线的表达式为。
（2）过点M作ME⊥x轴于点E，

∵。
∴M（1，），即OE=1，EM=。
∴。∴。
∴。
（3）过点A作AH⊥x轴于点H ，

∵AH=，HB=HO＋OB=3，
∴。
∴，∴。
∴。
∴要△ABC与△AOM相似，则必须：
①，或②。
设点C的坐标为（c，0），则根据坐标和勾股定理，有
AO=2，，，。
①由得，，解得。∴C₁（4，0）。
②由得，，解得。∴C₂（8，0）。
综上所述，如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，则点C的坐标为（4，0）或（8，0）。

试题分析：（1）应用三角函数求出点A的坐标，将A，B的坐标代入，即可求得a、b，从而求得抛物线的表达式。
（2）应用二次函数的性质，求出点M的坐标，从而求得，进而求得∠AOM的大小。
（3）由于可得，根据相似三角形的判定，分，两种情况讨论。