如图1.在平行四边形ABCD中.对角线AC.BD相交于点O.AC=5.BD=10.平行四边形ABCD的面积为24．将△COD绕点D按逆时针方向旋转得到△C1O D1.连接AC1.BD1．(1)求证:△AOC1∽△BOD1,(2)当△COD旋转至OD1与点A重合时.求△AOC1的面积．(3)如图3.连接DD1．①则△BDD1的面积的最大值为25．②当旋转至点C1与点B� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

17．如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=5，BD=10，平行四边形ABCD的面积为24．将△COD绕点D按逆时针方向旋转得到△C₁O D₁，连接AC₁、BD₁．

（1）求证：△AOC₁∽△BOD₁；
（2）当△COD旋转至OD₁与点A重合时，求△AOC₁的面积．
（3）如图3，连接DD₁．
①则△BDD₁的面积的最大值为25．（直接填空）
②当旋转至点C₁与点B之间的距离最大时，求此时BD₁的长．

分析（1）根据两边成比例夹角相等的两三角形相似即可证明；
（2）如图2中，作C₁H⊥AC于H．由${S}_{△{D}_{1}O{C}_{1}}$=$\frac{1}{4}$×24=$\frac{1}{2}$×OD₁×C₁H，求出C₁H=$\frac{12}{5}$，根据${S}_{△AO{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}$•OA•C₁H计算即可解决问题；
（3）①如图3中，当OD₁⊥BD时，△BDD₁的面积最大．最大值=$\frac{1}{2}$•BD•OD₁；
②如图4中，作D₁H⊥BD于H．由$\frac{1}{2}$•OC₁•D₁H=$\frac{1}{4}$×24，求得D₁H=$\frac{24}{5}$，在Rt△OD₁H中，OH=$\sqrt{O{{D}^{2}}_{1}-{D}_{1}{H}^{2}}$=$\frac{7}{5}$，推出BH=OB-OH=$\frac{18}{5}$，在Rt△BHD₁中，BD₁=$\sqrt{{D}_{1}{H}^{2}+B{H}^{2}}$=6．

解答（1）证明：如图1中，

∵∠COC₁=∠DOD₁，
∴∠AOC₁=∠BOD₁，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=OC₁，OB=OD=OD₁，
∴$\frac{O{C}_{1}}{O{D}_{1}}$=$\frac{OA}{OB}$，
∴△AOC₁∽△BOD₁；

（2）解：如图2中，作C₁H⊥AC于H．

∵${S}_{△{D}_{1}O{C}_{1}}$=$\frac{1}{4}$×24=$\frac{1}{2}$×OD₁×C₁H，
∴C₁H=$\frac{12}{5}$，
∴${S}_{△AO{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}$•OA•C₁H=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×$\frac{12}{5}$=3．

（3）①如图3中，当OD₁⊥BD时，△BDD₁的面积最大．最大值=$\frac{1}{2}$•BD•OD₁=$\frac{1}{2}$×10×5=25．

故答案为25．

②如图4中，作D₁H⊥BD于H．

∵$\frac{1}{2}$•OC₁•D₁H=$\frac{1}{4}$×24，
∴D₁H=$\frac{24}{5}$，
在Rt△OD₁H中，OH=$\sqrt{O{{D}^{2}}_{1}-{D}_{1}{H}^{2}}$=$\frac{7}{5}$，
∴BH=OB-OH=$\frac{18}{5}$，
在Rt△BHD₁中，BD₁=$\sqrt{{D}_{1}{H}^{2}+B{H}^{2}}$=6．

点评本题考查相似三角形综合题、平行四边形的性质、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．

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