分析 (1)由y=ax2+bx-$\frac{3}{2}$(a>0)与x轴交于点A(-1,0)和点B,对称轴为直线l:x=1,根据抛物线的对称性可求得B点坐标,根据二次函数与一元二次方程的关系可得A、B两点横坐标的值即为一元二次方程ax2+bx-$\frac{3}{2}$=0的解;
(2)把A、B两点的坐标代入y=ax2+bx-$\frac{3}{2}$,得到关于a、b的二元一次方程组,解方程组求出a、b的值,得到抛物线L的解析式,再利用配方法化为顶点式,即可得到顶点M的坐标;
(3)作PC⊥l于点C.
①根据点P是抛物线L上的一个动点及(2)中所求解析式,当m=5时,把x=5代入y=$\frac{1}{2}$(x-1)2-2,求出y=6,得到P点坐标,从而得到点C的坐标,由点P为新抛物线L′的顶点及解析式平移的规律得出L′的解析式,再求出点N的坐标,通过计算得出CM=CN,然后根据线段垂直平分线的性质即可得出PM=PN;
②根据点P是抛物线L上的一个动点及(2)中所求解析式,得出点P的坐标为(m,$\frac{1}{2}$m2-m-$\frac{3}{2}$),从而得到点C的坐标,由点P为新抛物线L′的顶点及解析式平移的规律得出L′的解析式为y=$\frac{1}{2}$(x-m)2+$\frac{1}{2}$m2-m-$\frac{3}{2}$,再求出点N的坐标,通过计算得出CM=CN,然后根据线段垂直平分线的性质即可得出PM=PN;
③当△PMN为等边三角形时,根据等腰三角形三线合一的性质得出PC平分∠MPN,即∠CPN=30°,利用正切函数定义得出$\frac{CN}{PC}$=tan30°,即$\frac{1}{2}$m2-m+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$(m-1),解方程求出m的值,进而得到点P的坐标.
解答 解:(1)如图1,∵y=ax2+bx-$\frac{3}{2}$(a>0)与x轴交于点A(-1,0)和点B,对称轴为直线l:x=1,
∴点A和点B关于直线l:x=1对称,
∴点B(3,0),
∴一元二次方程ax2+bx-$\frac{3}{2}$=0的解为x1=-1,x2=3;
(2)把A(-1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx-$\frac{3}{2}$,
得$\left\{\begin{array}{l}{a-b-\frac{3}{2}=0}\\{9a+3b-\frac{3}{2}=0}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$,
抛物线L的解析式为y=$\frac{1}{2}$x2-x-$\frac{3}{2}$,
配方得,y=$\frac{1}{2}$(x-1)2-2,
所以顶点M的坐标为(1,-2);
(3)如图2,作PC⊥l于点C.
①∵y=$\frac{1}{2}$(x-1)2-2,
∴当m=5,即x=5时,y=6,
∴P(5,6),
∴此时L′的解析式为y=$\frac{1}{2}$(x-5)2+6,点C的坐标是(1,6).
∵当x=1时,y=14,
∴点N的坐标是(1,14).
∵CM=6-(-2)=8,CN=14-6=8,
∴CM=CN.
∵PC垂直平分线段MN,
∴PM=PN;
②PM=PN仍然成立.
由题意有点P的坐标为(m,$\frac{1}{2}$m2-m-$\frac{3}{2}$).
∵L′的解析式为y=$\frac{1}{2}$(x-m)2+$\frac{1}{2}$m2-m-$\frac{3}{2}$,
∴点C的坐标是(1,$\frac{1}{2}$m2-m-$\frac{3}{2}$),
∴CM=$\frac{1}{2}$m2-m-$\frac{3}{2}$+2=$\frac{1}{2}$m2-m+$\frac{1}{2}$.
∵在L′的解析式y=$\frac{1}{2}$(x-m)2+$\frac{1}{2}$m2-m-$\frac{3}{2}$中,
∴当x=1时,y=m2-2m-1,
∴点N的坐标是(1,m2-2m-1),
∴CN=(m2-2m-1)-($\frac{1}{2}$m2-m-$\frac{3}{2}$)=$\frac{1}{2}$m2-m+$\frac{1}{2}$,
∴CM=CN.
∵PC垂直平分线段MN,
∴PM=PN;
③存在这样的点P,使△PMN为等边三角形.
若$\frac{CN}{PC}$=tan30°,则$\frac{1}{2}$m2-m+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$(m-1),
解得m=$\frac{2\sqrt{3}+3}{3}$,
所以点P的坐标为($\frac{2\sqrt{3}+3}{3}$,-$\frac{4}{3}$).
点评 本题是二次函数综合题,考查了二次函数的性质,待定系数法求抛物线的解析式,二次函数与一元二次方程的关系,解析式平移的规律,线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质,锐角三角函数定义等知识,综合性较强,难度适中.利用数形结合与方程思想是解题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
每户节水量(单位:吨) | 1 | 1.2 | 1.5 |
节水户数 | 52 | 30 | 18 |
A. | 1.20t | B. | 1.15t | C. | 1.05t | D. | 1t |
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:填空题
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\left\{\begin{array}{l}{x-y=200}\\{(1+20%)x-(1-10%)y=780}\end{array}\right.$ | B. | $\left\{\begin{array}{l}{x-y=200}\\{(1-20%)x-(1+10%)y=780}\end{array}\right.$ | ||
C. | $\left\{\begin{array}{l}{x-y=200}\\{20%x-10%y=780}\end{array}\right.$ | D. | $\left\{\begin{array}{l}{x-y=200}\\{(1-20%)x-(1-10%)y=780}\end{array}\right.$ |
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com