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    5．已知在△ABC中，满足∠ACB=2∠B，
    （1）如图1，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上取一点E使得AE=AC，连接DE，求证：AB=AC+CD．
    （2）如图2，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请你证明；若不成立，请说明理由．
    （3）如图3，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．
     

    分析 （1）由AD为∠BAC的角平分线，得到∠EAD=∠CAD，通过△AED≌△ACD，得到ED=CD，∠AED=∠ACD=90°，由于∠ACB=90°，∠ACB=2∠B，得到∠B=45°，∠BDE=45°，∠B=∠BDE，根据等腰三角形的性质得到EB=ED，于是得到结论；
    （2）如图2，在AB上截取AE=AC，连接ED，由AD为∠BAC的角平分线时，得到∠BAD=∠CAD，通过△AED≌△ACD得到∠AED=∠C，ED=CD，由已知得到∠B=∠EDB，根据等腰三角形的性质得到EB=ED，即可得解；
    （3）如图3，在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED，由AD为∠BAC的角平分线时，得到∠BAD=∠CAD，通过△AED≌△ACD得到∠AED=∠C，ED=CD，由已知得到∠B=∠EDB，根据等腰三角形的性质得到EB=ED，即可得解．

    解答 证明：（1）∵AD为∠BAC的角平分线
    ∴∠EAD=∠CAD，
    在△AED与△ACD中，
    $\left\{{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠EAD=∠CAD}\\{AD=AD}\end{array}}\right.$，
    ∴△AED≌△ACD（SAS），
    ∴ED=CD，∠AED=∠ACD=90°，
    又∵∠ACB=90°，∠ACB=2∠B，
    ∴∠B=45°，
    ∴∠BDE=45°，
    ∴∠B=∠BDE，
    ∴EB=ED，
    ∴EB=CD，
    ∴AB=AE+EB=AC+CD；            

    （2）结论：还成立．
    理由：如图2，在AB上截取AE=AC，连接ED，
    ∵AD为∠BAC的角平分线时，
    ∴∠BAD=∠CAD，
    在△AED与△ACD中，
    $\left\{{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠EAD=∠CAD}\\{AD=AD}\end{array}}\right.$，
    ∴△AED≌△ACD（SAS），
    ∴∠AED=∠C，ED=CD，
    ∵∠ACB=2∠B，
    ∴∠AED=2∠B，
    ∵∠AED=∠B+∠EDB，
    ∴∠B=∠EDB，
    ∴EB=ED，
    ∴EB=CD，
    ∴AB=AE+EB=AC+CD；

    （3）猜想：AB+AC=CD．
    证明：如图，在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED．
    ∵AD平分∠FAC，
    ∴∠EAD=∠CAD，
    在△AED与△ACD中，
    $\left\{{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠EAD=∠CAD}\\{AD=AD}\end{array}}\right.$，
    ∴△AED≌△ACD（SAS），
    ∴ED=CD，∠AED=∠ACD，
    ∴∠FED=∠ACB，
    又∵∠ACB=2∠B，
    ∴∠FED=2∠B，
    又∵∠FED=∠B+∠EDB，
    ∴∠EDB=∠B，
    ∴EB=ED，
    ∴EA+AB=EB=ED=CD，
    ∴AC+AB=CD．

    点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

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