Question

4．如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．
（1）求证：AB•AF=CB•CD
（2）已知AB=15cm，BC=9cm，P是射线DE上的动点．设DP=xcm（x＞0），四边形BCDP的面积为ycm²．
①求y关于x的函数关系式；
②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值．

Answer 1

分析 （1）首先证得△DCF∽△ABC，利用相似三角形的性质可得结论；
（2）①由勾股定理可得BC的长，利用梯形的面积公式可得结果；②首先由垂直平分线的性质可得点C关于直线DE的对称点是点A，PB+PC=PB+PA，故只要求PB+PA最小即可，因为当P、A、B三点共线时PB+PA最小，由中位线的性质可得EF=$\frac{9}{2}$，由（1）知CF：BC=CD：AB，可得CD，即得AD，在Rt△ADF中，由勾股定理可得DF，易得DE，即得x，代入①可得y．

解答 （1）证明：∵AD=CD，DE⊥AC，
∴DE垂直平分AC，
∴AF=CF，∠DFA=DFC=90°，∠DAF=∠DCF．
∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°，
∴∠DCF=∠DAF=∠B，
在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC=∠ACB=90°，∠DCF=∠B，
∴△DCF∽△ABC，
∴$\frac{CD}{AB}$=$\frac{CF}{CB}$，即$\frac{CD}{AB}$=$\frac{AF}{CB}$．
∴AB•AF=CB•CD；
（2）解①∵AB=15，BC=9，∠ACB=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}-{9}^{2}}$=12，
∴CF=AF=6，
∴y=$\frac{1}{2}$（x+9）×6=3x+27（x＞0）
②∵BC=9（定值），
∴△PBC的周长最小，就是PB+PC最小．
由（1）可知，点C关于直线DE的对称点是点A，
∴PB+PC=PB+PA，故只要求PB+PA最小．
显然当P、A、B三点共线时PB+PA最小．此时DP=DE，PB+PA=AB．
由（1），∠ADF=∠FAE，∠DFA=∠ACB=90°，
∴△DAF∽△ABC．EF∥BC，得AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{15}{2}$，EF=$\frac{9}{2}$．
∴AF：BC=AD：AB，即6：9=AD：15．
∴AD=10．Rt△ADF中，AD=10，AF=6，
∴DF=8．
∴DE=DF+FE=8+$\frac{9}{2}$=$\frac{25}{2}$．
∴当x=$\frac{25}{2}$时，△PBC的周长最小，此时y=$\frac{129}{2}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的性质及判定，垂直平分线的性质及判定定理及最短路径问题，分析出当P、A、B三点共线时PB+PA最小是解答此题的关键．