Question

如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．
（1）求证：EB=GD；
（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=

3

，求GD的长．

Answer 1

考点：相似多边形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,菱形的性质

专题：几何综合题

分析：（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等；
（2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，根据∠DAB=60°得到BP=

1

2

AB=1，然后求得EP=2

3

，最后利用勾股定理求得EB的长即可求得线段GD的长即可．

解答：（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，
∴∠EAG=∠BAD，
∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，
∴∠EAB=∠GAD，
∵AE=AG，AB=AD，
∴△AEB≌△AGD，
∴EB=GD；

（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，
∵∠DAB=60°，
∴∠PAB=30°，
∴BP=

1

2

AB=1，
AP=

AB2-BP2

=

3

，AE=AG=

3

，
∴EP=2

3

，
∴EB=

EP2+BP2

=

12+1

=

13

，
∴GD=

13

．

点评：本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．