分析 (1)根据含30°的直角三角形的性质和等边三角形的性质解答即可;
(2)根据相似三角形的判定和性质以及直角三角形中的三角函数解答即可;
(3)由(2)的推理得出 $\frac{PM}{QN}$,再利用直角三角形的三角函数解答.
解答 解:(1)①∵∠ACB=90°,D为AB的中点,
∴CD=DB,
∴∠DCB=∠B,
∵∠B=60°,
∴∠DCB=∠B=∠CDB=60°,
∴∠CDA=120°,
∵∠EDC=90°,
∴∠ADE=30°;
②∵∠C=90°,∠MDN=90°,
∴∠DMC+∠CND=180°,
∵∠DMC+∠PMD=180°,
∴∠CND=∠PMD,
同理∠CPD=∠DQN,
∴△PMD∽△QND,
过点D分别做DG⊥AC于G,DH⊥BC于H,
可知DG,DH分别为△PMD和△QND的高
∴$\frac{PM}{QN}$=$\frac{DG}{DH}$,
∵DG⊥AC于G,DH⊥BC于H,
∴DG∥BC,
又∵D为AC中点,
∴G为AC中点,
∵∠C=90°,
∴四边形CGDH 为矩形有CG=DH=AG,
Rt△AGD中,$\frac{DG}{AG}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$,
即 $\frac{PM}{QN}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
(2)是定值,定值为tan(90°-β),
∵$\frac{PM}{QN}$=$\frac{DG}{DH}$,四边形CGDH 为矩形有CG=DH=AG,
∴Rt△AGD中,$\frac{DG}{AG}$=tan∠A=tan(90°-∠B)=tan(90°-β),
∴$\frac{PM}{QN}$=tan(90°-β).
点评 此题是几何变换综合题,组要考查了矩形的性质,锐角三角函数的定义相似三角形的性质和判定,关键是根据直角三角形的性质和相似三角形的判定进行解答
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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A. | 已知①②则③ | B. | 已知②⑤则④ | C. | 已知②④则③ | D. | 已知④⑤则② |
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