Question

【题目】图形变换中的数学，问题情境：在课堂上，兴趣学习小组对一道数学问题进行了深入探究，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，连接CD．

（1）探索发现：
如图①，BC与BD的数量关系是；
（2）猜想验证：
如图②，若P是线段CB上一动点（点P不与点B，C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想BF，BP，BD三者之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）拓展延伸：
若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图③中补全图象，并直接写出BF、BP、BD三者之间的数量关系．

Answer 1

【答案】
（1）BC=BD
（2）

解：BF+BP=BD，

理由：∵∠ACB=90°，∠A=30°，

∴∠CBA=60°，BC= AB，

∵点D是AB的中点，

∴BC=BD，

∴△DBC是等边三角形，

∴∠CDB=60°，DC=DB，

∵线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，

∴∠PDF=60°，DP=DF，

∴∠CDB﹣∠PDB=∠PDF﹣∠PDB，

∴∠CDP=∠BDF，

在△DCP和△DBF中， ，

∴△DCP≌△DBF，

∴CP=BF，

∵CP+BP=BC，

∴BF+BP=BC，

∵BC=BD，

∴BF+BP=BD

（3）

解：如图③，

关系：BF=BD+BP，

理由：∵∠ACB=90°，∠A=30°，

∴∠CBA=60°，BC= AB，

∵点D是AB的中点，

∴BC=BD，

∴△DBC是等边三角形，

∴∠CDB=60°，DC=DB，

∵线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，

∴∠PDF=60°，DP=DF，

∴∠CDB+∠PDB=∠PDF+∠PDB，

∴∠CDP=∠BDF，

在△DCP和△DBF中， ，

∴△DCP≌△DBF，

∴CP=BF，

∵CP=BC+BP，

∴BF=BC+BP，

∵BC=BD，

∴BF=BD+BP．

【解析】解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠CBA=60°，BC= AB，
∵点D是AB的中点，
∴BC=BD，
所以答案是：BC=BD；