Question

如图所示，等腰直角△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在边AC、BC上，以BC为直径的半圆E与以DA为半径的半圆D相外切，设BC=6，图中阴影部分的面积为    ．

Answer 1

【答案】分析：设⊙D的与AC的交点为F，与AB的交点为G，⊙E与AB的交点为H；首先连接DG、EH，由于△ABC是等腰Rt△，易证得△ADG和△BEH也是等腰Rt△，即∠ADG=∠FDG=90°，此时发现弓形FG和弓形AG正好完全相等，同理可证弓形BH和弓形CH的面积相等；所以图中阴影部分的面积=△ABC的面积-△AFG的面积-△BHC的面积．而AD的长，可在△CDE中，由勾股定理求得，由此得解．
解答：解：如图；设AD=x，则DC=6-x，DE=3+x；
Rt△CDE中，由勾股定理，得：
DC²+CE²=DE²，即（6-x）²+3²=（x+3）²；
解得x=2，即AD=DG=2．
∵△ABC是等腰Rt△，
∴∠A=∠B=45°；
故△ADG、△BEH也是等腰Rt△；
∴∠ADG=∠FDG=∠HEC=∠HEB=90°；
∴S_弓形AG=S_弓形GF，S_弓形CH=S_弓形BH；
∴S_阴影=S_△ABC-S_△AGF-S_△BHC
=×6×6-×6×3-×4×2
=5．
点评：此题看出扇形面积公式及阴影部分面积的拆分，用规则的图形面积表示出不规则图形的面积，解决此题的关键是能够发现弓形AG、弓形FG以及弓形BH、弓形CH之间的几何关系．