Question

14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点E是直角边AC上动点（点E与A、C两点均不重合），点F是斜边AB上的动点（点F与A、B两点均不重合）．设AE长为x．
（1）若EF平分Rt△ABC的周长，试用含x的代数式表示AF=6-x；
（2）在（1）式的基础上，若△AEF的面积为$\frac{16}{5}$，求x的值；
（3）在（1）式的基础上，问：是否存在线段EF将Rt△ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出此时AE的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先利用勾股定理求得AB=5，从而得到三角形ABC的周长=12，然后根据AF+AE=6求解即可；
（2）过点F作FD⊥AC．先证明△FDA∽△BCA，由相似三角形的性质可得到DF=$\frac{24-4x}{5}$，然后根据三角形的面积公式列方程求解即可；
（3）根据△AEF的面积等于三角形ABC面积的一半列方程求解即可．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5．
所以△ABC的周长=3+4+5=12．
∴AE+AF=6．
∴AF=6-AE=6-x．
故答案为：6-x．
（2）过点F作FD⊥AC．

∵BC⊥AC，FD⊥AC，
∴BC∥DF．
∴△FDA∽△BCA．
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{DF}{FA}$，即$\frac{4}{5}=\frac{DF}{6-x}$．
∴DF=$\frac{24-4x}{5}$．
∵△AEF的面积为$\frac{16}{5}$，
∴$\frac{1}{2}AE•DF$=$\frac{1}{2}x•\frac{24-4x}{5}$=$\frac{16}{5}$．
解得：x₁=2，x₂=4（舍去）．
∴x的值为2．
（3）存在．
理由：由（2）可知：$\frac{1}{2}x•\frac{24-4x}{5}$=$\frac{1}{2}×$$\frac{1}{2}×3×4$．
解得：x₁=$\frac{6-\sqrt{6}}{2}$，x₂=$\frac{6+\sqrt{6}}{2}$．
∵0＜x＜3，
∴x=$\frac{6-\sqrt{6}}{2}$．
∴AE=$\frac{6-\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理、三角形的面积公式、解一元二次方程，列出关于△AEF的面积的方程是解题的关键．