Question

12．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为MN，连结CN．若BM=1，BC=5，则MN的长为（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 2$\sqrt{5}$
• D． 2$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 连接AC，由折叠可得：AM=CM，AN=CN，∠AMN=∠CMN．运用勾股定理可求出AB、AC的长，易证四边形AMCN是菱形，然后运用菱形的面积公式就可求出MN的值．

解答 解：连接AC，如图．
由折叠可得：AM=CM，AN=CN，∠AMN=∠CMN．
∵BM=1，BC=5，
∴AM=MC=4．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴AB=$\sqrt{A{M}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{15}$，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{10}$．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ANM=∠CMN，
∴∠ANM=∠AMN，
∴AN=AM，
∴AM=CM=AN=CN，
∴四边形AMCN是菱形．
∵S_菱形AMCN=$\frac{1}{2}$AC•MN=MC•AB，
∴$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{10}$•MN=4×$\sqrt{15}$，
∴MN=2$\sqrt{6}$．
故选D．

点评 本题考查的是矩形的折叠问题，用到了矩形的性质、轴对称的性质、菱形的判定与性质、菱形的面积公式、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，在解决有关矩形的折叠问题时，通常会运用勾股定理求线段的长．