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如图(1),∠ABC=90°,O为射线BC上一点,OB=4,以点O为圆心,BO长为半径作⊙O交BC于点D、E.
(1)当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与⊙O相切?请说明理由;
(2)若射线BA绕点B按顺时针方向旋转与⊙O相交于M、N两点(如图(2)),MN=,求的长.

【答案】分析:(1)要求当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与⊙O相切,就要先利用切线的性质画出图形,从图中可以看出旋转的度数就是∠A′BC的度数.然后利用图形来计算.从图中可看出,OG=OB的一半,所以角PBG=30°,所以当射线BA绕点B按顺时针方向旋转60°或120°时与⊙O相切;
(2)由勾股定理边的关系可知弧所对的圆心角是一个直角,然后利用弧长公式计算
解答:解:(1)当射线BA绕点B按顺时针方向旋转60°或120°时与⊙O相切(1分)
理由:当BA绕点B按顺时针方向旋转60°到BA′的位置,则∠A′BO=30°
过O作OG⊥BA′垂足为G
∴OG=OB=2(3分)
∴BA′是⊙O的切线(4分)
同理,当BA绕点B按顺时针方向旋转120度到BA″的位置时
BA″也是⊙O的切线.(6分)
∵OG=OB
∴∠A′BO=30°
∴BA绕点B按顺时针方向旋转了60°
同理可知,当BA绕点B按顺时针方向旋转到BA″的位置时,BA与⊙O相切,BA绕点B按顺时针方向旋转了120°;

(2)∵MN=,OM=ON=2
∴MN2=OM2+ON2(7分)
∴∠MON=90°(8分)
的长为=π.
点评:本题综合考查了切线的判定和弧长公式的综合运用.
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