Question

如图，点P是正方形ABCD对角线BD上一点，作PE⊥DC于E，PF⊥BC于F．
（1）求证：AP=EF；
（2）若正方形ABCD的边长为4cm，当BP=3

2

cm时，求AP的长度．

Answer 1

分析：（1）连接CP，证矩形EPFC，求出EF=PC，证△ABP≌△CBP，推出AP=CP即可；
（2）证△PFB是等腰直角三角形，求出BF、PF，求出FC，根据勾股定理求出PC即可．

解答：（1）证明：连接PC，
∵ABCD是正方形，
∴∠C=90°，
∵PE⊥CD，PF⊥BC，
∴PFCE是矩形，
∴EF=PC，
在△ABP和△CBP中
AB=BC，∠ABP=∠CBP，BP=BP，
∴△ABP≌△CBP，
∴AP=CP，
∵EF=CP，
∴AP=EF．

（2）解：∵ABCD是正方形，
∴∠PBF=45°，
∴△PFB是等腰直角三角形，
∵BP=3

2

cm，
∴BF=PF=3cm，
∵正方形ABCD的边长是4cm，
∴FC=1cm，
∴PC=

PF2+FC2

=

10

（cm），
∴AP=

10

cm，
答：AP的长是

10

cm．

点评：本题主要考查对勾股定理，全等三角形的性质和判定，正方形的性质等知识点的连接和掌握，能证出AP=PC是解此题的关键．