【题目】P是以AB为直径的半圆上一动点(P与A、B不重合),O为圆心,CO⊥AP,OC、BC与AP分别相交于D、E两点,AB=12.
(1)若∠ABC=35°,求∠PAB的度数;
(2)若AP平分线段BC,求弦AP的长度;
(3)是否存在点P,使△PBC的面积为整数,如果存在,这样的P点有几个?(直接写出结果,不需写出解题过程.)
【答案】(1)20°(2)8(3)35
【解析】
(1)连接BP,CP,OP,根据圆周角定理和垂径定理进行计算即可;
(2)通过证明三角形全等得出线段CD与OD的关系,进而求出BP,运用勾股定理求解即可;
(3)把S△BPC转化为S△BOP,进而进行分析即可.
如图连接BP,CP,OP,
(1)∵∠ABC=35°,
∴∠AOC=2∠ABC=70°,
∵CO⊥AP,
∴∠PAB=90°﹣70°=20°;
(2)∵AB是圆的直径,
∴BP⊥AP,
∵CO⊥AP,
∴OC∥BP,∠CDE=∠BPE=90°,
∵CE=BE,∠CED=∠BEP,
∴△BPE≌△CDE,
∴CD=BP,
∵AO=BO,OC∥BP,
∴2OD=BP,
∴CD=2OD,
∵OC=AB=6,
∴OD=2,BP=4,
由勾股定理可得,AP===8;
(3)∵OC∥BP,
∴S△BPC=S△BOP,
∵OB=6,
∴当点P到OB距离为,,…,6时,S△BPC为整数,
∴这样的P点有35个.
故答案为:(1)20°(2)8(3)35
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【题目】如图,正方形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上,顶点C在y轴的正半轴上,点B在双曲线(x<0)上,点D在双曲线(x>0)上,点D的坐标是 (3,3)
(1)求k的值;
(2)求点A和点C的坐标.
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【题目】已知是关于的方程的一个实数根,并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形的两条边长,则的周长为( )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 8或10
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,点E在AB上,∠DEC=90°.
(1)求证:△ADE∽△BEC.
(2)若AD=1,BC=3,AE=2,求AB的长.
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【题目】有2部不同的电影A、B,甲、乙、丙3人分别从中任意选择1部观看.
(1)求甲选择A部电影的概率;
(2)求甲、乙、丙3人选择同一部电影的概率(请用画树状图的方法给出分析过程,并求出结果)
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【题目】如图,正方形ABCD中,以BC为边向正方形内部作等边△BCE,连接AE并延长交CD于F,连接DE,下列结论:①AE=DE;②∠CEF=45°;③AE=EF;④△DEF∽△ABE,其中正确的结论共有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】(1)验证下列两组数值的关系:
2sin30°cos30°与sin60°;
2sin22.5°cos22.5°与sin45°.
(2)用一句话概括上面的关系.
(3)试一试:你自己任选一个锐角,用计算器验证上述结论是否成立.
(4)如果结论成立,试用α表示一个锐角,写出这个关系式.
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