Question

10．如图，以等边△ABC的边BC为直径画半圆，分别交边AB、AC于点E，D，DF是半圆的切线，交AB于点F，若AF的长为1，则△FBC的面积为3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连接OD，由DF为圆的切线，利用切线的性质得到OD垂直于DF，根据三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到三条边相等，三内角相等，都为60°，由OD=OC，得到三角形OCD为等边三角形，进而得到OD平行与AB，由O为BC的中点，得到D为AC的中点，在直角三角形ADF中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出AD的长，进而求出AC的长，即为AB的长，由AB-AF求出FB的长，在直角三角形FBG中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出BG的长，再利用三角函数即可求出FG的长．最后用三角形的面积公式即可．

解答 解：如图，连接OD，过点F作FG⊥BC，
∵DF为圆O的切线，
∴OD⊥DF，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠ACB=60°，
∵OD=OC，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠CDO=∠A=60°，∠ABC=∠DOC=60°，
∴OD∥AB，
∴DF⊥AB，
在Rt△AFD中，∠ADF=30°，AF=1，
∴AD=2AF=2，
∴AC=4，即：BC=AC=4，
∴FB=AB-AF=4-1=3，
在Rt△BFG中，∠BFG=30°，
∴cos∠BFG=$\frac{FG}{BF}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴FG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BF=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$．
∴S△FBC=$\frac{1}{2}$BC×FG=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，
故答案为：3$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了切线的性质，等边三角形的性质，含30°直角三角形的性质，锐角三角函数，三角形的面积，三角形的中位线，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．