Question

19．如图1，在△ABC中，CD、CE分别是△ABC的高和角平分线，∠BAC=α，∠B=β（α＞β）．

（1）若∠BAC=70°，∠B=40°，求∠DCE的度数；
（2）若∠BAC=α，∠B=β（α＞β），则∠DCE=$\frac{1}{2}$（α-β）（用α、β的代数式表示）；
（3）若将△ABC换成钝角三角形，如图2，其他条件不变，试用α、β的代数式表示∠DCE的度数并说明理由；
（4）如图3，若CE是△ABC外角∠ACF的平分线，交BA延长线于点E．且α-β=30°，则∠DCE=75°．（直接写出结果）

Answer 1

分析 （1）三角形的内角和是180°，已知∠BAC与∠ABC的度数，则可求出∠BAC的度数，然后根据角平分线的性质求出∠BCE，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠DEC的度数，进而求出∠DCE的度数；
（2）（3）∠DCE=$\frac{α-β}{2}$，解法如（1）．
（4）作∠ACB的内角平分线CE′，根据角平分线的性质求出∠ECE′=∠ACE+∠ACE′=$\frac{1}{2}$∠ACB+$\frac{1}{2}$∠ACF=90°，进而求出∠DCE的度数．

解答 解：（1）因为∠ACB=180°-（∠BAC+∠B）=180°-（70°+40°）=70°，
又因为CE是∠ACB的平分线，
所以∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACB．
因为CD是高线，
所以∠ADC=90°，
所以∠ACD=90°-∠BAC=20°，
所以∠DCE=∠ACE-∠ACD=35°-20°=15°．
（2）．因为∠ACB=180°-（∠BAC+∠B）=180°-（α+β），
又因为CE是∠ACB的平分线，
所以∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACB．
因为CD是高线，
所以∠ADC=90°，
所以∠ACD=90°-∠BAC=90°-α，
所以∠DCE=∠ACE-∠ACD=90°-$\frac{1}{2}$（α+β）-90°+α=$\frac{α-β}{2}$．
故答案为$\frac{α-β}{2}$
（3）∠DCE=$\frac{1}{2}$（α-β）．
因为∠ACB=180°-（∠BAC+∠B）=180°-（α+β），
又因为CE是∠ACB的平分线，
所以∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACB．
因为CD是高线，
所以∠ADC=90°，
所以∠ACD=∠BAC-90°=α-90°，
所以∠DCE=∠ACE+∠ACD=90°-$\frac{1}{2}$（α+β）+α-90°=$\frac{1}{2}$（α-β）；
（4）如图，作∠ACB的内角平分线CE′，
则∠DCE′=15°．
因为CE是∠ACB的外角平分线，
所以∠ECE′=∠ACE+∠ACE′=$\frac{1}{2}$∠ACB+$\frac{1}{2}$∠ACF=$\frac{1}{2}$（∠ACB+∠ACF）=90°，
所以∠DCE=90°-∠DCE′=90°-15°=75°．
即∠DCE的度数为75°，
故答案为75°．

点评 本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．解决（4）作辅助线是关键．