Question

已知反比例函数图象过第二象限内的点A（-2，m）AB⊥x轴于B，Rt△AOB面积为3，若直线y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数的图象上另一点C（n，-），
（1）反比例函数的解析式为______，m=______，n=______；
（2）求直线y=ax+b的解析式；
（3）在y轴上是否存在一点P，使△PAO为等腰三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：
（1）在Rt△OAB中，OB=2，S_△OAB=3，
∴AB=3，
即A（-2，3），
∴反比例函数的解析式为y=-，
∴C（4，-），

（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，则有：
，
解得：，
∴y=-x+；

（3）∵A（-2，3），
∴OA=，
当OP=0A时，可得P₁（0，）；P₂（0，-）；
当OA=AP时，P₃（0，6）；
当OP=AP时，可得P₄（0，）；
答：存在点P使△PAO为等腰三角形；点P坐标分别为：
P₁（0，）；P₂（0，-）；P₃（0，6）；P₄（0，）．
分析：（1）根据△AOB的面积求出A点的坐标，然后根据A点坐标确定出反比例函数的解析式．进而求得C点的坐标．根据C、A的坐标即可求得直线AC的解析式；
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，则由已知条件求出k，b的值，即可得问题答案；
（3）以O为圆心，OA为半径，交坐标轴于四点，这四点均符合点P的要求．以A为圆心，AO为半径，交坐标轴于两点，作AO的垂直平分线，交坐标轴于两点，因此共有8个符合要求的点．再找到在y轴上的点即可．
点评：本题考查反比例函数和一次函数解析式的确定、图形的面积求法、等腰三角形的判定等知识及综合应用知识、解决问题的能力．要注意（3）在不确定等腰三角形的腰和底的情况下要考虑到所有的情况，不要漏解．