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    （2012•永州）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx-1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），l为过点（0，-2）且与x轴平行的直线，P（m，n）是该二次函数图象上的任意一点，过P作PH⊥l，H为垂足．
    （1）求二次函数y=ax2+bx-1（a≠0）的解析式；
    （2）请直接写出使y＜0的对应的x的取值范围；
    （3）对应当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|2和|PH|2的值．由此观察其规律，并猜想一个结论，证明对于任意实数m，此结论成立；
    （4）试问是否存在实数m可使△POH为正三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）根据二次函数y=ax2+bx-1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），待定系数法求出a和b的值，抛物线的解析式即可求出；
    （2）令y=ax2+bx-1=0，解出x的值，进而求出使y＜0的对应的x的取值范围；
    （3）分别求出当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|2和|PH|2的值．然后观察其规律，再进行证明；
    （4）由（3）知OP=PH，只要OH=OP成立，△POH为正三角形，求出|OP|、|OH|含有m和n的表达式，令两式相等，求出m和n的值．
    解答：解：（1）∵二次函数y=ax2+bx-1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），
    ∴
    4a+2b-1=0
    16a+4b-1=3
    ，
    解得a=
    1
    4
    ，b=0，
    ∴二次函数的解析式为y=
    1
    4
    x2-1；

    （2）令y=
    1
    4
    x2-1=0，
    解得x=-2或x=2，
    由图象可知当-2＜x＜2时y＜0；

    （3）当m=0时，|PO|2=1，|PH|2=1；
    当m=2时，P点的坐标为（2，0），|PO|2=4，|PH|2=4，
    当m=4时，P点的坐标为（4，3），|PO|2=25，|PH|2=25，
    由此发现|PO|2=|PH|2，
    设P点坐标为（m，n），即n=
    1
    4
    m2-1
    |OP|=
    		m2+n2
    ，
    |PH|2=n2+4n+4=n2+m2，
    故对于任意实数m，|PO|2=|PH|2；

    （4）由（3）知OP=PH，只要OH=OP成立，△POH为正三角形，
    设P点坐标为（m，n），|OP|=
    		m2+n2
    ，
    |OH|=
    		4+m2
    ，
    |OP|=|OH|，即n2=4，解得n=±2，
    当n=-2时，n=
    1
    4
    m2-1不符合条件，
    故n=2，m=±2
    		3
    时可使△POH为正三角形．
    点评：本题主要考查二次函数的综合题，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图形特征和性质，特别是（3）问的解答很关键，是解答（4）问的垫脚石，此题难度一般．
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