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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，BC边上的高AM=4，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F．FE与DC的延长线相交于点G，连接DE，DF．
    （1）求证：△BEF∽△CEG；
    （2）当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由；
    （3）设BE=x，△DEF的面积为y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x精英家教网为何值时，y有最大值，最大值是多少？
    分析：（1）有AB∥DG，即可直接得到两个三角形相似．
    （2）两个三角形的周长之和是定值．利用勾股定理可求出BM=3，又因为Rt△BEF∽Rt△BAM，令BE=x，那么根据相似比，可用含x的代数式分别表示EF，BF，同样在△CEG中，令CE=y，可用含y的代数式表示CG，EG，又x+y=10，那么能求出两三角形的周长和是
    12
    5
    （x+y）=24．
    （3）利用相似比、勾股定理可得EF=
    4
    5
    x，CG=
    3
    5
    （10-x），那么利用三角形的面积公式，可得到y与x的关系式，再根据二次函数求最大值来求即可．
    解答：精英家教网（1）证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥DG，
    所以∠B=∠GCE，∠G=∠BFE，
    所以△BEF∽△CEG．

    （2）解：△BEF与△CEG的周长之和为定值．
    理由一：过点C作FG的平行线交直线AB于H，
    因为GF⊥AB，所以四边形FHCG为矩形．
    所以FH=CG，FG=CH，
    因此，△BEF与△CEG的周长之和等于BC+CH+BH，
    ∵∠B=∠B，∠AMB=∠BHC=90°
    ∴△ABM∽△CBH，
    ∴
    AB
    BC
    =
    AM
    CH

    由BC=10，AB=5，AM=4，
    可得CH=8，
    ∴BH=6，
    所以BC+CH+BH=24；
    理由二：由AB=5，AM=4，可知：
    在Rt△BEF与Rt△GCE中，有：EF=
    4
    5
    BE，BF=
    3
    5
    BE，GE=
    4
    5
    EC，GC=
    3
    5
    CE，
    所以，△BEF的周长是
    12
    5
    BE，△ECG的周长是
    12
    5
    CE，
    又BE+CE=10，因此△BEF与△CEG的周长之和是24．

    （3）解：设BE=x，则EF=
    4
    5
    x，GC=
    3
    5
    （10-x），
    所以y=
    1
    2
    EF•DG=
    1
    2
    •
    4
    5
    x[
    3
    5
    （10-x）+5]=-
    6
    25
    x2+
    22
    5
    x，
    配方得：y=-
    6
    25
    （x-
    55
    6
    ）2+
    121
    6
    ．
    所以，当x=
    55
    6
    时，y有最大值．
    最大值为
    121
    6
    ．
    点评：本题利用了被两条平行线所截的两个三角形相似，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积公式，二次函数求最大值的问题．
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    （1）求
    OA
    AB
    的值．
    （2）若E为x轴上的点，且S△AOE=
    16
    3
    ，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO是否相似？
    （3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．

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    14
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    		5
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    20
    20
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