已知.一次函数y=-$\frac{3}{4}$x+6的图象与x轴交于A.与y轴交于C.以O.A.C为顶点在第一象限作矩形OABC．(1)求点B的坐标.并在坐标系中画出函数y=-$\frac{3}{4}$x+6的图象和矩形OABC．(2)若反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象与△OAC有公共点.求k的取值范围．(3)在线段AC上存在点P.以点P.B.C三� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知，一次函数y=-$\frac{3}{4}$x+6的图象与x轴交于A，与y轴交于C，以O，A，C为顶点在第一象限作矩形OABC．
（1）求点B的坐标，并在坐标系中画出函数y=-$\frac{3}{4}$x+6的图象和矩形OABC．
（2）若反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象与△OAC有公共点，求k的取值范围．
（3）在线段AC上存在点P，以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出P点的坐标．

分析（1）先由y=-$\frac{3}{4}$x+6求出A、C的坐标，再由矩形的性质得出B的坐标，由A、C、B的坐标即可画出函数y=-$\frac{3}{4}$x+6的图象和矩形OABC；
（2）根据题意得出k＞0且方程$\frac{k}{x}=-\frac{3}{4}x+6$有实数解，得出△≥0，k≤12，即可得出k的取值范围；
（3）分两种情况：①当PB=PC时，点P在BC的垂直平分线上，容易得出点P的坐标；
②当PC=BC时，PC=BC=8，根据勾股定理求出AC，得出AP，作PD⊥OA于D，则PD∥OC，得出△ADP∽△AOC，得出对应边成比例求出PD、AD，求出OD，即可得出点P的坐标．

解答解：（1）由$y=-\frac{3}{4}x+6$=0，得x=8，
∴A（8，0），
当x=0时，$y=-\frac{3}{4}x+6$=6，
∴C（0，6），
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠AOC=∠OAB=∠ABC=∠OCB=90°，AB=OC=6，OA=BD=8，
∴B（8，6），
函数$y=-\frac{3}{4}x+6$的图象和矩形OABC如图1所示：
（2）反比例函数$y=\frac{k}{x}$（x＞0）的图象与△OAC有公共点，也就是与线段AC有公共点，
∴k＞0且方程$\frac{k}{x}=-\frac{3}{4}x+6$有实数解，
即方程-$\frac{3}{4}$x²+6x-k=0有实数解，
∴△=6²-4×（-$\frac{3}{4}$）×（-k）≥0，
解得：k≤12，
又∵k＞0，
∴k的取值范围是0＜k≤12；
（3）分两种情况：①当PB=PC时，点P在BC的垂直平分线上，
∴点P的坐标为：（4，3）；
②当PC=BC时，PC=BC=8，
∵AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∴PA=AC-PC=2，
作PD⊥OA于D，如图2所示：
则PD∥OC，
∴△ADP∽△AOC，
∴$\frac{PD}{OC}=\frac{AP}{AC}=\frac{AD}{OA}$，
即$\frac{PD}{6}=\frac{2}{10}=\frac{AD}{8}$，
∴PD=$\frac{6}{5}$，AD=$\frac{8}{5}$，
∴OD=8-$\frac{8}{5}$=$\frac{32}{5}$，
∴点P的坐标为：（$\frac{32}{5}$，$\frac{6}{5}$）；
综上所述：点P的坐标是（4，3）或（$\frac{32}{5}，\frac{6}{5}$）．

点评本题是反比例函数综合题目，考查了坐标与图形特征、矩形的性质、一元二次方程的根的判别式、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要运用一元二次方程的根的判别式、分类讨论、证明三角形相似才能得出结果．

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