Question

【题目】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=30°．求：

（1）∠BAE的度数；

（2）∠DAE的度数；

（3）探究：小明认为如果条件∠B=70°，∠C=30°改成∠B-∠C=40°，也能得出∠DAE的度数？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1） 40°；（2） 20°；（3）能，20°．

【解析】

试题分析：（1）根据三角形内角和定理得∠BAC=180°-∠B-∠C=80°，然后根据角平分线定义得∠BAE=∠BAC=40°；

（2）由于AD⊥BC，则∠ADE=90°，根据三角形外角性质得∠ADE=∠B+∠BAD，所以∠BAD=90°-∠B=20°，然后利用∠DAE=∠BAE-∠BAD进行计算；

（3）根据三角形内角和定理得∠BAC=180°-∠B-∠C，再根据角平分线定义得∠BAE=∠BAC=（180°-∠B-∠C）=90°-（∠B+∠C），加上∠ADE=∠B+∠BAD=90°，则∠BAD=90°-∠B，然后利用角的和差得∠DAE=∠BAE-∠BAD=90°-（∠B+∠C）-（90°-∠B）=（∠B-∠C），即∠DAE的度数等于∠B与∠C差的一半．

试题解析：（1）∵∠B+∠C+∠BAC=180°，

∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-30°=80°，

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=∠BAC=40°；

（2）∵AD⊥BC，

∴∠ADE=90°，

而∠ADE=∠B+∠BAD，

∴∠BAD=90°-∠B=90°-70°=20°，

∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-20°=20°；

（3）能．

∵∠B+∠C+∠BAC=180°，

∴∠BAC=180°-∠B-∠C，

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=∠BAC=（180°-∠B-∠C）=90°-（∠B+∠C），

∵AD⊥BC，

∴∠ADE=90°，

而∠ADE=∠B+∠BAD，

∴∠BAD=90°-∠B，

∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=90°-（∠B+∠C）-（90°-∠B）=（∠B-∠C），

∵∠B-∠C=40°，

∴∠DAE=×40°=20°．