Question

已知关于x的方程kx²-2（k+1）x+k-1=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据方程有两个不相等的实数根可知△=[-2（k+1）]²-4k（k-1）＞0，求得k的取值范围；
（2）可假设存在实数k，使得方程的两个实数根x₁，x₂的倒数和为0，列出方程即可求得k的值，然后把求得的k值代入原式中看看与已知是否矛盾，如果矛盾则不存在，如果不矛盾则存在．

解答：解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=[-2（k+1）]²-4k（k-1）=12k+4＞0，且k≠0，
解得k＞-

1

3

，且k≠0，
即k的取值范围是k＞-

1

3

，且k≠0；
（2）假设存在实数k，使得方程的两个实数根x₁，x₂的倒数和为0，
则x₁，x₂不为0，且

1

x1

+

1

x2

=0，
即

k-1

k

≠0，且

2(k+1) k

k-1 k

=0，
解得k=-1，
而k=-1与方程有两个不相等实根的条件k＞-

1

3

，且k≠0矛盾，
故使方程的两个实数根的倒数和为0的实数k不存在．

点评：本题主要考查了根的判别式的运用和给定一个条件判断是否存在关于字母系数的值令条件成立．解决此类问题，要先假设存在，然后根据条件列出关于字母系数的方程解出字母系数的值，再把求得的字母系数值代入原式中看看与已知是否矛盾，如果矛盾则不存在，如果不矛盾则存在．