Question

【题目】如果把一个自然数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做 “和谐数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所64746是“和谐数”．再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”．

（1）请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除，并说明理由；[来。

（2） 已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x（，x为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．

Answer 1

【答案】见解析，能被11整除；y=2x（1≤x≤4）

【解析】试题分析：根据“和谐数”的定义写出数字，然后设“和谐数”的形式为abcd，则根据题意得出a=d，b=c，然后将这个四位数除以11，将其化成代数式的形式，用a和b来表示c和d，然后得出答案，进行说明能被11整除；首先设三位“和谐数”为zyx，根据定义得出x=z，然后根据同上的方法进行计算．

试题解析：⑴、四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666…（答案不唯一）

任意一个四位“和谐数”都能被11整数，理由如下：

设任意四位“和谐数”形式为： ，则满足：

最高位到个位排列： 个位到最高位排列：

由题意，可得两组数据相同，则：

则

∴ 四位“和谐数”能被11整数 又∵为任意自然数，

∴任意四位“和谐数”都可以被11整除

⑵、设能被11整除的三位“和谐数”为： ，则满足：个位到最高位排列：

最高位到个位排列： 由题意，两组数据相同，则： 故

为正整数 ∴