Question

我们把既有外接圆又有内切圆的四边形称为双圆四边形，如图1，四边形ABCD是双圆四边形，其外心为O₁，内心为O₂．
（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形中，双圆四边形有

 

个；
（2）如图2，在四边形ABCD中，已知：∠B=∠D=90°，AB=AD，问：这个四边形是否是双圆四边形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；
（3）如图3，如果双圆四边形ABCD的外心与内心重合于点O，试判定这个四边形的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）有给出的图形可知只有正方形是双圆四边形；
（2）可先设AC的中点为O₁，证明A、B、C、D在以O₁为圆心，以O₁A为半径的圆上；再作∠ABC的平分线，交AC于O₂，分别作O₂E⊥AB，O₂F⊥BC，O₂G⊥CD，O₂H⊥AD，E、F、G、H是垂足，再证明O₂E=O₂F=O₂G=O₂H即可；
（3）利用垂径定理，圆心角定理可证明这个四边形是正方形．

解答：解：（1）1；

（2）四边形ABCD是双圆四边形．
证明：设AC的中点为O₁，
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴O₁B=O₁D=

1

2

AC=O₁A=O₁C，
∴A、B、C、D在以O₁为圆心，以O₁A为半径的圆上．
作∠ABC的平分线，交AC于O₂，分别作O₂E⊥AB，O₂F⊥BC，O₂G⊥CD，O₂H⊥AD，E、F、G、H是垂足，O₂E=O₂F．
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
∵AB=AD，AC=AC，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC，
∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，
∴O₂E=O₂H，O₂G=O₂F，
即O₂E=O₂F=O₂G=O₂H，
∴以O₂为圆心，以O₂E为半径的圆与四边形ABCD的各边都相切．
故四边形ABCD是双圆四边形．

（3）四边形ABCD是正方形．理由如下：
∵小圆是四边形ABCD的内切圆，
∴圆心O到AB、BC、CD、DA的距离相等．
又∵AB、BC、CD、DA是大圆的弦，
∴弧AB=弧BC=弧CD=弧DA，
∴四边形ABCD是正方形．

点评：本题考查了四边形的内切圆和外接圆，当四边形是正四边形时，这两个圆是同心圆．本题用到的和圆有关的定理还有垂径定理、圆心角定理．