Question

如图，某湖上风景区有两个观望点A，C和两个度假村B，D．度假村D在C正西方向，度假村B在C的南偏东30°方向，度假村B到两个观望点的距离都等于2km．
（1）在图中标出A，B，C，D的位置，并求道路CD与CB的夹角；
（2）如果度假村D到C是直公路，长为1km，D到A是环湖路，度假村B到两个观望点的总路程等于度假村D到两个观望点的总路程．求出环湖路的长；
（3）根据题目中的条件，能够判定DC∥AB吗？若能，请写出判断过程；若不能，请你加上一个条件，判定DC∥AB．

Answer 1

解：（1）如图所示，过C作CM⊥CD交AB与M，则∠DCM=90°，∠MCB=30°，
∴CD与CB的夹角为90°+30°=120°；

（2）环湖路的长=AB+BC-CD=3km；

（3）不能判定DC∥AB．
加上的条件可以是：CA平分∠DCB．
证明：∵AB=AC，
∴∠CAB=∠ACB，
∵CA平分∠DCB，
∴∠DCA=∠ACB，
∴∠DCA=∠CAB，
∴DC∥AB．
分析：（1）由度假村D在C正西方向，则D一定在左边，C是右边的点；由度假村B在C的南偏东30°则点C一定是上边的点．则C是上边，右边的点，进而可以确定A，B，D的位置．
（2）根据条件，可得等量关系：AB+BC=CD+环湖路的长，就可以求出环湖路的长．
（3）不能判定DC∥AB，根据平行线的判定定理，加上一个条件使∠DCA=∠CAB就可以．
点评：解决本题的关键是正确读懂题目的意思，准确作出图形，利用垂直的定义和平行线的判定求解．