Question

△ABC中，AB=AC=10，BC=12，动点D在边AB上，DE⊥AB，点E在BC上，点F在边AC上，且∠DEF=∠B，当点D在AB上运动时，
（1）S_△FCE可能等于S_△EBD的二倍吗？若可能，请求出BD的长；若不可能，请说明理由．
（2）S_△FCE可能等于S_△EBD的四倍吗？若可能，请求出BD的长；若不可能，请说明理由．

Answer 1

（1）存在．
证明：如图所示：
过点A作AH⊥BC于点H，
∵DE⊥AB，
∴∠B+∠BED=90°，
∵∠DEF=∠B，
∴∠BED+∠DEF=90°，
∴FE⊥BC，
∴∠BDE=∠CEF，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△EBD∽△FCE，
∵BC=12，AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH=6，AH=8，
∵FE⊥BC，
∴当点F与点A重合时△FCE的面积最大，此时点E与点H重合，
∴S_△FCE=CE•EF=×6×8=24；
∵==，==，解得BD=3.6，DE=4.8，
∴S_△EBD=BD•DE=×3.6×4.8=8.64，
∵2×8.64=9.2＜24，
∴S_△FCE可能等于S_△EBD的2倍；

（2）不存在．
证明：由（1）知当点F与点A重合时△FCE的面积最大，此时点E与点H重合，S_△FCE=CE•EF=×6×8=24，S_△EBD=BD•DE=×3.6×4.8=8.64，
∵24＜4×8.64=34.56，点F只在AC边上，
∴S_△FCE不可能等于S_△EBD的四倍．
分析：（1）根据题意画出图形，过点A作AH⊥BC于点H，根据相似三角形的判定定理得出△EBD∽△FCE，当点F到达A点时△FCE的面积最大，求出两三角形面积的值进行比较即可；
（2）根据（1）中两三角形的面积即可得出结论．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意画出图形利用数形结合是解答此题的关键．