Question

已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求证：OE=OF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：证明题

分析：根据直角三角形的两锐角互余即可证得∠FAG=∠ODF，进而证明△OAE≌△ODF，根据全等三角形的对应边相等即可证得OE=OF．

解答：证明：在△ADE中，
∵OA⊥DE，DF⊥AE，
∴∠FAG+∠AFG=∠ODF+∠OFD=90°．
又∵∠AFG=∠OFD，
∴∠FAG=∠ODF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OD，
在△OAE和△ODF中，

∠FAG=∠ODF OA=OD ∠AOE=∠DOF

，
∴△OAE≌△ODF（ASA），
∴OE=OF．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，和正方形的性质，正确证明三角形全等是关键．