Question

如图，正方形ABCD中，AB=，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15度．
（1）求证：DF+BE=EF；
（2）求：∠EFC的度数；
（3）求：△AEF的面积．

Answer 1

解：（1）延长EB至G，使BG=DF，连接AG，
∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠ABG=∠ADF=∠BAD=90°，
∵BG=DF，
∴△ABG≌△ADF，
∴AG=AF，
∵∠BAE=30°，∠DAF=15°，
∴∠FAE=∠GAE=45°，
∵AE=AE，
∴△FAE≌△GAE，
∴EF=EG=GB+BE=DF+BE；

（2）∵△AGE≌△AFE，
∴∠AFE=∠AGE=75°，
∵∠DFA=90°-∠DAF=75°，
∴∠EFC=180°-∠DFA-∠AFE=180°-75°-75°=30°，
∴∠EFC=30°．

（3）∵AB=BC=，∠BAE=30°，
∴BE=1，CE=-1，
∵∠EFC=30°，
∴CF=3-，
∴S_△CEF=CE•CF=2-3，
由（1）知，△ABG≌△ADF，△FAE≌△GAE，
∴S_△AEF=S_{正方形ABCD}-S_△ADF-S_△AEB-S_△CEF=S_{正方形ABCD}-S_△AEF-S_△CEF，
S_△AEF=S_{正方形ABCD}-S_△AEF-S_△CEF=3-．
分析：（1）延长EB至G，使BG=DF，连接AG．利用正方形的性质，证明△AGE≌△AFE，△FAE≌△GAE，得出DF+BE=EF；
（2）根据△AGE≌△AFE及角之间的关系从而求得∠EFC的度数；
（3）S_△AEF=S_{正方形ABCD}-S_△ADF-S_△AEB-S_△CEF=S_{正方形ABCD}-S_△AEF-S_△CEF，关键求S_△CEF．
点评：解答本题利用正方形的特殊性质，通过证明三角形全等，得出线段间的关系，同时考查了三角函数的运用，及组合图形的面积计算．