Question

3．从下列题目中任选一个，联系相关知识及现实生活，写一篇数学短文，字数控制在1000字以内．
①平移、旋转、对称与美
②生活中的函数关系
③一堂有趣的数学活动课
④有趣的勾股数
⑤数学与奥运
⑥通过参加本届“学用杯”竞赛，你对数学的应用性有何看法？请结合自己的学习生活以及“学用杯”初、决赛，自拟题目，谈一下自己的看法．

Answer 1

分析 这是关于数学的应用性看法的数学短文，注意联系相关知识及现实生活，学以致用．

解答 解：有趣的勾股数
在学习和运用勾股定理时，如果深入了解一下勾股数的一些特征，不仅能十分方便地熟记勾股弦的相关数值并运用到三角和几何里，而且使我们对勾股数的认识和掌握更加方便、易记．
我们知道，在一个直角三角形中，斜边为弦，两直角边中短者为勾，长者为股．它们满足勾²+股²=弦²，当勾，股，弦都是整数时，比如当勾=5，股=12，弦=13时，我们称之为一组“勾股数”或“毕达哥拉斯数”．大家常说的“勾三股四弦五”就是一组勾股数．我们可以举出无穷多组的勾股数来，如：
6²+8²=10²             7²+24²=25²           8²+15²=17² 
9²+40²=41²           17²+144²=145²        20²+21²=29²…．、
    大家是否想到这些勾股数尚有不少有趣的特征呢．
特征1：任意一组勾股数中，必有一个数是3的倍数；必有一个数是4的倍数；必有一个数是5的倍数．
如：6，8，10是一组勾股数，其中6是3的倍数，8是4的倍数，10是5的倍数．又如9，40，41是一组勾股数，其中9是3的倍数，40既是4的倍数也是5的倍数．
特征2：在所有的勾股数中，其中没有一组的三个数都是奇数的．
下面我们采用“反证法”来证明．
假设一组勾股数都是奇数为：2X₁+1，2X₂+1，2X₃+1（X₁，X₂，X₃ 皆为整数）
它们分别平方后得到：（2X₁+1）²=4 X₁² +4 X₁ +1，（2X₂+1）²=4 X₂² +4 X₂ +1，
（2X₃+1）²=4 X₃² +4 X₃ +1
把这三个数中的任意两个加起来，如：（2X₁+1）²+（2X₂+1）²=2（2X₁² +2X₂² +2X₁ +2 X₂+1）其和是一个偶数，而（2X₃+1）² 却是一个奇数，二者显然不等．
由此可见三个都是奇数的勾股数是不存在的．
特征3：若a，b，c是一组勾股数，则ka，kb，kc（k是任意自然数）也是一组勾股数．
这个特征的证明则更简单：由a²+b²=c²，有（ka）²+（kb）²=k²（a²+b²）=（kc）²．
从而得出（ka）²+（kb）²=（kc）²．
这个特征告诉我们，只要知道一组勾股数，便可得到无数多组的勾股数．尽管如此，我们却只能得到部分勾股数，其余的勾股数是否能用简单的代数公式给出呢？为此，我们再将一些勾股数进行归类考察：
3，4，5            7，24，25         5，12，13         9，40，41
6，8，10           10，24，26        8，15，17         12，35，37
从中可以发现这些勾股数的组成规律，
特征4：象第一组，如果第一个数是奇数，那么第二个数是第一个数的平方减1再除以2，第三个数是第二个数加1．写成公式：若M为奇数，则M，$\frac{{M}^{2}-1}{2}$，$\frac{{M}^{2}+1}{2}$，就是一组勾股数．
同样，我们可以写成第二组的勾股数公式：
N，（$\frac{N}{2}$）²-1，（$\frac{N}{2}$）²+1，（N是偶数）
了解勾股数的这些有趣特征，就对勾股数有了较深刻的认识，也就掌握了它们的组成规律．在学习数学、物理时灵活运用这些有趣的特征，可收事半功倍之效．

点评 考查了应用类问题，本题是开放型写作题目，比较新颖，答案不唯一，同学们可以自由发挥．